Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. Движение точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона. Переменные Кеплера
66. Уравнения движения. Предполагая, что точка имеет массу, равную 1, отнесем ее к полярным координатам, с полюсом в центре притяжения О, и обозначим полярный угол через а, вместо обычного символа 0, которому мы немного ниже придадим другое значение. В силу этого каноническое выражение живой силы будет дано формулой (п. 6)
(Г) = у(Рр + у2Ра + р2 Sinaa р\)> а потенциал ньютонианского притяжения точкой О будет иметь вид
^Lev і-С і V і t a, Comptes rendus, там же, 1434—1438, стр. 392—395.
*) Метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в более общем виде, чем это указано в тексте, разработан Имшенецким В. Г. и изложен в его сочинении „Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядков", Москва, 1916. Впервые напечатано в 1865 г. в ,Ученых записках Казанского университета".
И мшен едкий Василий Григорьевич родился в Ижевске в 1832 г., умер в Москве в 1892 г. Окончил физико-математический факультет Казанского университета в 1853 г., защитил магистерскую диссертацию в 1865 г., а в 1868 г. защитил докторскую диссертацию.
Научно-педагогическая деятельность В. Г. Имшенецкого протекала в Казанском университете и в Харьковском университете, а в 1881 г. он был избран действительным членом Петербургской Академии наук.
Основные работы В. Г. Имшенецкого охватывают вопросы интегрирования уравнений с частными производными первого и второго порядков, а также интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков с одним независимым переменным. Предложенный им метод отделения переменных для интегрирования уравнений с частными производными первого порядка имеет тем большее значение для аналитической механики, что доведение задачи до конца Вне рамок применения этого метода является счастливой случайностью.
Биографический очерк, содержащий характеристику жизни и научной деятельности В. Г. Имшенецкого, помещен в журнале „Математический сборник', т. 18, 1896. (Прим. ред.)
§ 12. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРИТЯГИВАЕМОЙ НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРОМ 347
где положено k = /от0, причем /, как обычно, есть постоянная всемирного тяготения и от0 — масса центрального тела. Легко видеть, что задача является интегрируемой способом разделения переменных, как частный случай задачи Штеккеля (п. 64) при п = 3.
В данном случае имеем
1
р2 Sitl2 а ’
U, = k, Ua=U3-и, следовательно,
D =
Однако, ввиду того интереса, который представляет рассматриваемый вопрос для небесной механики, а также чтобы придерживаться исторического порядка, будем, следуя Пуанкаре ’)> непосредственно искать полный интеграл W соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби, принимающего здесь вид
1 — 1 0
P2 0 1 sin2 и — 1
1 0 0
где
H=W'+wp-+'^-p')-'i~E’ (130)
_dW pP - др ’
SW Рз~ да ’
dW p^ дч’
(131)
Постараемся прежде всего удовлетворить этому уравнению функцией W, не зависящей от долготы © и имеющей вид
W=W1^-Ga, (132)
где W1 означает функцию только от р, а G есть постоянная.
Нам придется положить в уравнении (130)
Pe=Wu P3=O, P9 = 0, (133)
и мы придем к обыкновенному дифференциальному уравнению
W,2 = 2E~j-- — -?,
1 P2 9
(134)
интегрируемому, очевидно, посредством одной квадратуры. Так как аддитивную постоянную при W1, появляющуюся при интегрировании уравнения (134), нельзя рассматривать за существенную в формуле (132), то интеграл W, который получится таким образом для уравнения (130), будет зависеть только от двух постоянных Е, G и, следовательно, не будет искомым полным интегралом. Ho из него легко
ОН. Poincare, Lemons de la Mecanique celeste, т. I, Париж, 1905, г*. ІП.
348
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
вывести на основании геометрических соображений интеграл, обладающий большей общностью и, кроме того, удовлетворяющий всем требуемым условиям. В самом деле, полярный угол а образован прямой OP и положительной полуосью Oz, имеющей неизменное направление в пространстве, которое может быть выбрано произвольно; поэтому, в конце концов, а есть угол, который полупрямая OP образует с некоторой произвольной прямой. Возьмем^,произвольную полупрямую ON и обозначим через v угол, который она образует с полупрямой OP. Легко видеть, что уравнение (130) удовлетворяется функцией
W=W1-^-Gv, (132')
где, как и в формуле (132), G есть постоянная и W1 — функция только от р, определяемая с точностью до несущественной аддитивной постоянной из уравнения (134). Действительно, представим себе, что выполнено вращение осей, которое приводит ось г к совпадению с ON. Относительно новых осей уравнение Гамильтона — Якоби допускает, конечно, как это говорилось в самом начале, интеграл (132), причем функция W1 определяется из уравнения (134). Если посредством обратного вращения мы возвратимся к осям Oxyz, то функция W1, как зависящая только от расстояния р, которое не меняется при повороте, останется неизменной, равно как и постоянная G, так что для уравнения (130) мы как раз получим интеграл (132').
