Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 141

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 230 >> Следующая


П •<> П

т=~ V —> и=

2 U ф*’ й=і

Й=1

где каждая из функций Uh, как и в п. 62, зависит только от qh и, само собой разумеется, является конечной и правильной в рассматриваемой области.

Выражая в T количества q через ph, будем иметь (п. 5)

П

(T) =4 Sm.

Й= 1

!) Cm., например, Charlier, Die Mechanik des Hiramels, Leipzig, Veit1 т. II, 1902, стр. 97-116.

¦*) Habilitationsschrift, Halle, 1891; Math. Ann., т. XLII, 1893, стр. 537—563. Cm. также: Ooursat, Comptes rendus, т. 116,1893, стр. 1050—1051; Burgatti, Hend. Circ. Mat. di Palermo, т. IX, 1894, стр. 125—135.
344

ГЛ« X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

в силу чего уравнение Гамильтона — Якоби H = E, полный интеграл которого W в форме (120) требуется определить, принимает вид

П

^*{\PI-V^) = E (Рп=Щ-п, A=I, 2, ..., «). (128)

ft. = 1

Теперь легко убедиться, что для того, чтобы получить полный интеграл этого уравнения, достаточно определить Wh из п дифференциальных уравнений первого порядка.

-I Wn3 = "s VPvft + ^nh + Ub (А = 1,2.............п), (129)

где It1, ..., кп-1 обозначают п — 1 произвольных постоянных.

В самом деле, функция W = LWh удовлетворяет уравнению (128), как это непосредственно можно увидеть, если обратить внимание на равенства ph = Wh и уравнение (129). Далее, чтобы показать, что W есть полный интеграл, достаточно заметить, что при качественных ограничениях, аналогичных ограничениям п. 62, можно принять, что всякое Wh в рассматриваемой области отлично от нуля; после этого увидим, что определитель

d*W її IIaiFJlII

11 11 Ml (A, j=\, 2, ..., п — 1),

V' =

dqhd ItjII

die 4

так как он приводится к виду
?п tPia • • tPm
1 ?21 ?22 • • ?2» _
KK ••• К-i ?»-11 tPn-Ia • • • tPn-In-I W1W12 ...

W,

п—I

не может тождественно равняться нулю.

Как мы уже знаем (п. 38), общее решение канонической системы мы найдем из равенств (74а), (74а); что касается аналитической природы переменных q, как функций от t (и от п — 1 постоянных X1, ха, ..., у.п_1), то имеют место соображения, аналогичные тем, которые были приведены в предыдущем пункте. Здесь, как и раньше, успех применения способа разделения переменных тесно связан с существованием п квадратичных интегралов относительно q для ла-гранжевых уравнений движения; эти интегралы определяются здесь уравнениями (129), в которые вместо W'h = ph должны быть подставлены
§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 345

Так как рассматриваемый здесь случай, как было сказано вначале, представляет собой обобщение случая Лиувилля, то целесообразно указать, какие значения должны быть взяты для функций Vth(Qh), чтобы снова вернуться к динамической задаче Лиувилля.

Если ограничиться решением этой задачи в предположении, что все Ah п. 62 равны 1, то достаточно взять Onh соответственно равными Bh, а остальные <р постоянными, причем все алгебраические дополнения функций wnh = Bh, т. е. функций должны быть равны 1, например

1 —1 0 ... 0
1 0 —1 ... 0
1 0 0 ... —1
B1 S2 Bs... Вп

Если в этом определителе умножим элементы первого, второго, ..., п-то столбца соответственно на I/Au IfA2, ¦ ¦ ¦, 1 /Ап, то снова вернемся к случаю (только формально более общему), который мы изучали в пп. 62, 63.

65. Добавим еще, что сам Штеккель и другие указали дальнейшие случаи интегрируемости способом разделения переменных и что даже был установлен критерий классификации всех типов возможных динамических задач, интегрируемых этим методом 1J. Действительное определение этих типов впервые и исчерпывающим образом было выполнено при га = 2 Морера2), а позднее было дополнено для я = 3 Даль-Аква (Dali’Acqua) 3).

Было замечено также4), что если для консервативной динамической системы с характеристической функцией H=(T)—U задача может быть сведена к квадратурам, то это справедливо и для случая, когда (T) = Е, т. е. для соответствующей задачи о движении при отсутствии сил (движение по инерции).

С другой стороны, то обстоятельство, что в указанных выше случаях Лиувилля и Штеккеля приложимость метода разделения переменных связывается с существованием квадратичных относительно q первых интегралов, заставляло изучать условия, при которых динамическая задача допускает первые интегралы указанного выше вида. Известные типы таких задач были указаны, кроме Штеккеля, Ди Пирро6) и Пэнлеве6). И для этих динамических задач,

*) Levi-Civita, Math. Annalen, т. LIX, 1904, стр. 383—397.

2) Atti della R. Асс. di Torino, т. XVI, 1881, стр. 276—295.

3) Math. Annalen, т. LXVI, 1908, стр. 398—415.

*) L е V і-С і V і t a, loc. cit.

Б) Ann. di Mat. (2), т. XXIV, 1896, стр. 315—334.

®) Comptes rendus, т. 124, 1897, стр. 221—224.
346

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

допускающих квадратичные относительно q интегралы, также имеет место замечание, что эти интегралы продолжают существовать даже и в том случае, когда силы отсутствуют; с другой стороны, возможна еще систематическая классификация, из которой следует, что, наверное, существуют другие случаи, помимо открытых до сих пор *); однако задача полного определения таких случаев представляет, повидимому, большие трудности *).
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed