Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
определится соответственно из уравнения
(122)
где на основании равенства (120) надо положить
П
(123)
I W1?
--Uh-EBh = Tzh (h = \, 2, ..., я), (124)
§ И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 341
что касается величин Wh, то определение каждой из них сводится на основании уравнений (124) к одной квадратуре
При этих значениях Wh уравнение (120) определит некоторую функцию W от q и п произвольных постоянных Ic1, тг2, Е,
удовлетворяющую в силу способа, которым она получена, уравнению Гамильтона — Якоби (122); поэтому остается только проверить, что мы действительно имеем полный интеграл, т. е. (п. 38) что определитель
не равен тождественно нулю.
Для этой цели в соответствии с принятыми уже предположениями допустим, что q и it выбираются в области, в которой будет отличен от нуля каждый из трех членов Uh-\-EBh-\-Tzh, в силу чего на оснований уравнений (124) отличным от нуля будет также всякое отдельное Wh; а так как любой элемент детерминанта V' определяется выра-
то достаточно принять во внимание те же уравнения (124), чтобы установить, что такой элемент при j фН тождественно равен нулю, а при j = A имеет вид
поэтому определитель V', как это и требовалось показать, отличен от нуля.
63. Общий интеграл и ход движения. Определив для уравнения Гамильтона — Якоби H=E полный интеграл (120), мы получим согласно правилу п. 38 общее решение канонической системы, если, определив значения Wh по формулам (125), подставим полный интеграл в уравнения (74а) п. 38, определяющие траекторию, и в уравнение (74б), определяющее закон движения по этой траектории. Таким образом, принимая во внимание выражение (123') для величины ъп и
{Xndqh (А=1, 2, ..., я), (125)
где для простоты положено
Xh— V^Ah (Uh-\-EBh-\-ith) (А—1, 2
9 * * • >
я).
V'= JW-
SqhBitj
(A, / = 1,-2, я—1) (126)
жением
(А = 1, 2, ..., я —1);
342
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
дифференцируя под знаком интеграла по каждому Tcj- (при / = = 1,2, ..., я — 1) и по Е, мы придем к окончательным уравнениям
— (/= 1, 2, . .., я), (126а)
t-к= І] Jdqh. (126«)
h=l
Ho если мы хотим быстро составить себе представление о ходе движения, то вместо этих уравнений удобно обратиться к уравнениям (124). Так как на основании характеристической формы (121),
принятой для Т, моменты рп связаны с соответствующими q равенствами
T
Ph = ~ — bAhqh (й=1, 2, ..., я), dqh
и, кроме того, тождественны c' W'h, то мы видим, что уравнения (124) можно написать в одном из двух видов
1 2
2-Ть-иь — ЕВъ = *» (124O
\b*Ahkl-Uh-EBh = Tth, (124")
(А = 1, 2, ..., я).
Так как уравнения (124'), помимо произвольных постоянных, содержат аргументы р, q, то их можно рассматривать как я интегралов канонических уравнений, между тем как уравнения (124") вместе с q содержат q и потому представляют собой я первых квадратичных интегралов для первоначальных динамических уравнений Лагранжа, эквивалентных канонической системе.
При качественном изучении движения более удобными оказываются уравнения (124"), каждое из которых содержит только одну из переменных q и представляет само по себе дифференциальное уравнение первого порядка уже неоднократно встречавшегося типа
?2 = Ф(<7)-
Поэтому на основании результатов исследования § 6 гл. I можно заключив, что каждая из переменных q представляет собой периодическую функцию времени или асимптотически приближается к предельному значению. Чтобы точнее определить характер движения, значительно целесообразнее было бы изучить изменение параметров q при помощи уравнений (124"). рассматривая их как функции не
§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 343
только от t, но также й от я—1 аргументов Z1, у.2, Xn^1;
однако мы не будем останавливаться на этом г).
64. Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделения переменных 2); в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов; не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом.
Рассмотрим и2 функций <вл(дп) при v, A = I, 2, ..., я, таких, что каждая из них зависит только от одной переменной qh, индекс которой совпадает со вторым индексом рассматриваемой функции, и предположим, что определитель
z5HIcPvbII (A1V= 1, 2, . .., и)
не равен тождественно нулю. Если обозначим через при A=I, 2, ..., я величины, взаимные элементам какой-нибудь строки определителя D, например я-ой, то увидим на основании равенства
= (127)
/1=1
что не все равны нулю. Условившись заранее ограничить изменение q некоторой областью, в которой функции остаются отличными от нуля, рассмотрим динамическую, консервативную систему, обладающую живой силой и потенциалом вида