Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
^=9По5’ Ts = cos23°30' = 0,917.
При этих численных значениях и, принимая для отвлеченных чисел т0/т', (С—A)jС значения 82 и 1I305, которые можно вывести из других астрономо-геодезических соображений, мы установим, что уравнение (119') будет удовлетворяться с достаточной степенью точности; мы получили, таким образом, указанное выше доказательство причинной зависимости между лунно-солнечным притяжением и земной прецессией.
Заметим, что, так как в действительности между всеми элементами, входящими в уравнение (119'), элементом наименее доступным для измерения каким-либо другим путем является отношение т0/т' массы Земли к массе Луны, то с астрономической точки зрения наибольший интерес, который представляет формула (119'), будет заключаться именно в том, чтобы дать хорошую численную оценку этого отношения, если заранее считается достоверным, что земная прецессия происходит от лунно-солнечного притяжения.
Следует заметить, что аддитивное свойство потенциала отражается также и на угловой скорости v, которая аналогично может рассматриваться как сумма двух слагаемых V1, v2, происходящих первое от действия Солнца, второе от действия Луны; из уравнения (119') соответственно двум слагаемым потенциала получим
т
Так как п'/п есть не что иное, как отношение одного года к одному лунному месяцу, т. е. приблизительно 13,4, то найдем
V1 — 83 — ’ ’
откуда следует, что влияние Луны на земную прецессию будет более чем вдвое интенсивнее влияния Солнца.
§ 11. Интегрирование уравнений Гамильтона — Якоби посредством разделения переменных
62. Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канонической системы было сведено в § 6 к определению полного интеграла для соответствующего уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби.
.так что будем иметь
§ и. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 339
Наиболее замечательными случаями, в которых действительно удается указать такой полный интеграл, являются ‘те, к которым приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать, что при характеристической функции, не зависящей от t, уравнению Гамильтона — Якоби (п. 38)
H{p\q) — const = E (рй = |^; A=I, 2, ...,я) можно удовлетворить функцией вида
W =2 Wh (qh), (120)
Й=1
где, для всякого значения индекса h, Wh означает функцию от одного только аргумента qh и, конечно, Wh в своей совокупности зависят от п произвольных постоянных, одна из которых, согласно принимаемой здесь постановке Якоби, является самой постоянной энергии Е.
Конечно, такая возможность может встретиться только для частных видов характеристической функции Н; следует, однако, отметить, что характеристические функции, обладающие указанным свойством, непосредственно встречаются в важных динамических задачах.
Первый пример, указанный Лиувиллем и ставший теперь классическим, дают те динамические консервативные системы, в которых путем надлежащего выбора обобщенных координат q живая сила материальной системы и потенциал имеют вид
П П
т =~ь YiAuql (121>
h=l й=1
где положено
Ъ=Ъвь,
ft=1
причем каждое из Ah Bh, Uh является функцией одного аргумента qh.
Легко видеть, что достаточно было бы ввести в качестве обобщенных координат новые переменые q*, определяемые равенствами
dq*=VAh-dqh (h = 1, 2, ..., п),
чтобы, не нарушая общности, сделать все Ah равными 1 (т. е. при-
П
вести квадратичную форму HiAhq\, которая после умножения на Ь)2
Jl= 1
дает живую силу, к евклидовой форме); но так как в некоторых, весьма интересных конкретных задачах, когда мы пользуемся параметрами, наиболее естественными для данной задачи, живая сила T принимает вид, указанный в первом из равенств (121), то предпочтительнее вести вычисления в этих переменных. Однако, чтобы избежать исследований, мало пригодных для наших целей, предположим заранее,
22*
340
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
что аргументы q заключены в некоторой области, в которой функции Ah, Bh и Ь остаются не только правильными, наравне с U, но также и отличными от нуля.
Заметим теперь, что при наличии первого из равенств (121) на основании правила п. 5 имеем
Уравнение Гамильтона — Якоби, для которого требуется найти полный интеграл вида (120), будет здесь иметь вид
если умножим обе части уравнения (122) на b и примем во внимание явное выражение множителя Ь, то можно написать
Таким образом, левая часть уравнения представлена в виде суммы п слагаемых, каждое из которых зависит от одного только qh. Обозначая эти слагаемые соответственно через K1, тса, ..., будем иметь
а так как это равенство должно удовлетворяться тождественно относительно q, то достаточно взять частные производные по этим переменным, чтобы получить TCft = O (А = 1, 2, .п), т. е. чтобы заключить, что каждое тг должно сводиться к постоянной и что уравнение (122') равносильно п обыкновенным дифференциальным уравнениям
где я обозначают п постоянных, связанных между собой только соотношением (123).
Поэтому мы можем рассматривать как вполне произвольные постоянные п—1 из них, например Tr1, я9, ..., а я-е постоянное
