Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Во втором случае основные уравнения (117), если исключить к (и заметить, что X и v не могут исчезать одновременно, если речь идет о действительном движении), приведутся к виду
р = ні» ч = п2, с^0 = л^3—~; (117O
подставляя в интеграл момента количеств движения вместо р и q выражения, определяемые этими уравнениями, мы придем к уравнению
Av (I — fa) + Cr0Y8 = const.
336
гл. х. Канонические уравнения
Так как теперь можно исключить случай ==±1, уже рассмотренный выше, то это уравнение будет разрешимо относительно v и определит эту величину только через (и через структурные и механические постоянные). Достаточно тогда это значение v внести в третье из уравнений (117), чтобы получить одно уравнение с одним только ^3, откуда заключаем, что есть постоянная величина, а в силу этого такой же будет и v.
Из неизменности ^з следует также, что ось гироскопа описывает круговой конус вокруг неподвижной оси ОС; с другой стороны, принимая во внимание, что также и v является постоянной, и записывая уравнения (117') в виде
і n in і А —с 1 ди
p = vTl + 0, ? = vTa4-0, /-O = Vfe+-^- VY8--^g--,
мы найдем, что угловая скорость тела может быть разложена в векторную сумму двух постоянных составляющих—одной, направленной по неподвижной оси С и измеряемой по величине и по знаку числом V, и другой, направленной по гироскопической оси и измеряемой аналогично числом
А — С I dU /!юл
(118)
Следовательно, мы имеем здесь дело с правильной прецессией (т. I, гл. IV, п. 15), с угловой скоростью прецессии V и собственной угловой скоростью тела ji, которые в случае тяжелого гироскопа совпадают с угловыми скоростями, уже изученными подробно в п. 37 гл. VIII; легко проверить, что, полагая в уравнении (118) DUjdys = Pz0, мы снова возвращаемся к характеристическому уравнению (74'), цитированному в п. 37 гл. VIII.
Каковы бы ни были при приняты^ предположениях действующие силы, эта прецессия в согласии с общим результатом п. 53 зависит от четырех произвольных постоянных: двух из трех постоянных I1) vJ Tbi связанных уравнением (118), и начальных величин углов Эйлера ср и <Ji.
Необходимо, наконец, заметить, что когда прецессия оказывается медленной, т. е. когда угловая скорость прецессии v мала по сравнению с гироскопической скоростью г0 (и, следовательно, также по сравнению с fi), то, пренебрегая членами с Vа в равенстве (117'), получим
(119)
61. Динамическое объяснение земной прецессии и определение массы Луны. Уже в кинематике (т. I, гл. IV, п. 19) мы описали регулярную прецессию, к которой в первом приближении приводится движение Земли вокруг ее центра тяжести О. Здесь на основе рассуждений предыдущего пункта вместе с рассуждениями п. 50 можно дать
§ 10. ПРИМЕРЫ
337
этой прецессии динамическое объяснение; легко убедиться, что мы имеем здесь дело с одной из тех медленных прецессий, которые согласно только что приведенным теоретическим соображениям можно объяснить в случае Земли лунно-солнечным притяжением, если довольствоваться оценкой его среднего действия за очень длительный период, или вековым действием.
Чтобы выполнить эту проверку, начнем с замечания, обращаясь к соображениям п. 50, что комбинированное притяжение Солнцем и Луною Земли, как происходящее от отдаленных тел, можно с достаточным приближением вывести на основании формулы (103) и добавочного введения ньютонова потенциала из потенциала
U = -I(C-A)(I-Il)Ir
\ I+*?
\ ' т' J
где через п, пг обозначены средние движения Солнца и Луны (гл. III, п. 10), через т0 и т' — массы Земли и Луны и в слагаемом, относящемся к Солнцу, т. е. в делителе я2, подставлена 1 вместо двучлена 1 т0/т вследствие малости земной массы т0 по сравнению с солнечной массой т.
Так как этот потенциал зависит исключительно от ^g, то непосредственно приложимы результаты предыдущего пункта; так как земная прецессия является медленной, то нам придется проверить, будет ли удовлетворяться уравнение (119), когда в качестве потенциала U берут только что указанный потенциал лунно'солнечного притяжения и величинам г0 и V приписывают значения угловых скоростей, которые соответственно принадлежат суточному вращению Земли и платоническому году (около 26 ООО звездных лет). На самом деле угловая скорость суточного вращения Земли была бы здесь строго равна величине jx, определенной из уравнения (118); но вследствие малости Vno сравнению с Ji на основании того же уравнения (118) можно принять г0, как было сказано, совпадающим с р..
Далее, уравнение (119) после подстановки вместо U указанного выше выражения и деления обеих частей на г\ принимает вид
(119')
Принимая во внимание, что отношения угловых скоростей можно Отождествить с обратными отношениями соответствующих периодов и что продолжительности обращения Солнца и Луны в солнечных днях равны соответственно 365!/4 и 271/^, придется положить для зем-ной прецессии
л 1 л' 1
7? 365]25’ Tq = 27,33 ’
22 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди.
338
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
тогда как в п. 19 гл. IV т. I мы видели, что
