Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
которое, как это следует из расстановки знаков коэффициентов, допускает один и только один положительный корень (CM. гл. III, упражнение 17).
Если отношение расстояний A1, Д2 принимается равным этому корню, то уравнения (112") дают для ю2 одну и ту же величину, и достаточно сложить их по частям, чтобы получить эту величину в симметричном виде
“2 = дтте { Ж° (д| + д|) + 04 + A2)2 }’
из этого соотношения видно, что «о есть действительная величина.
В этом случае мы также имеем ооа установившихся движений, так как остаются произвольными одно из двух расстояний A1, A2 и начальная ориентировка прямой P2P0P1.
59. Тяжелое твердое тело, закрепленное в одной точке. Общий случай. Для изучения установившихся движений вернемся к рассуждениям п. 48, но в качестве параметров Лагранжа примем, как это было сделано в § 5 гл. VIII, проекции р, q, г угловой скорости на оси, неизменно связанные с телом и являющиеся главными осями инерции относительно неподвижной точки О, и направляющие косинусы Tf1, Tf2, Tf8 нисходящей вертикали относительно этих неподвижных в теле осей.
В силу этого характеристическая функция, при обычных обозначениях, принимает вид
H = ~ (Ap2 -f Bq* -f Cr3)—P (-J1X0 + T4V0 -1- у3г0),
и интеграл моментов количеств движения P9 = const в явной форме будет
Kr = Apy1 -{- Bqyi 4- Cry3 = const. (114)
Для определения установившихся движений мы должны положить 8#= О, при условии, что переменные связаны уравнением (114) и, конечно, геометрическим условием Ті + Тз + Тз — І» согласно п. 56 это выразится уравнением
Stf—VStfc—X CflS-T1 4- TaST9 + YesTa) = о» где Xhv обозначают два неопределенных множителя.
334
Гл, X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Раскрывая это уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при Sp1 8q, Sr, Sfl, Sf2, Sf3, мы получим две системы уравнений
P = ^l 1, ? = П2, /- = ^3, (115)
Px0-^Ap-Ifj = 0, Py0-VBq-Xf2 = O, \
Pb-Cr-Xn J <И6)
из первого из них мы найдем, что v есть проекция угловой скорости твердого тела на вертикаль, направленную вниз; теперь доста-
точно сопоставить уравнения (115) с уравнениями Пуассона
Ъ = ЪГ — ЪЯ, Tas=TaP-Т/» Ta = Titf-T2P.
чтобы видеть, что Ti» Ta» Ta являются постоянными, т. е. что нисходящая вертикаль неподвижна в теле.
С другой стороны, исключая р, q, г из уравнения (114) посредством уравнений (115), найдем уравнение
V (Af1 + BflС-ф = const,
которое обнаруживает постоянство v; отсюда мы заключаем, что установившиеся движения сводятся к равномерным вращениям вокруг вертикали, проходящей через неподвижную точку.
Это —движения по Штауде, которые мы подробно изучили в rirt. 25 и 26 и в упражнении 11 гл. VIII; для нахождения полученных там результатов нужно было бы лишь исследовать уравнения (115), (116).
60. Гироскоп с потенциалом, зависящим только от угла нутации. Случай Лагранжа — Пуассона. Здесь, кроме A = B, надо еще положить X0 =у0 == 0, а потенциал, предполагаемый зависящим только от 9, можно рассматривать как функцию от единственного аргумента = cos 9. Мы уже знаем, что эти условия выполняются как при изучении влияния притяжения отдаленным телом Земли на ее вращение вокруг центра тяжести (п. 50), так и в задаче о движении тяжелого гироскопа (случай Лагранжа — Пуассона), для которого имеем U = PzQf3 (гл. VIII, § 6).
Характеристическая функция H и осевой момент Krk количеств движения относительно неподвижной оси С определяются во всех этих случаях уравнениями
H = I {А (р* + ?2) + Cr») - Щь),
К = A (Pf1 -f qf2) + Crf8;
вместе с двумя интегралами //=const, /Cc = Const существует третий интеграл рч = Const или, в силу второго из уравнений (14) п. 5, интеграл г = const = rQ, который, так как K^ = P^ находится в инволюции с интегралом Arc = const.
4 io. примеры
335
Отсюда следует на основании п. 53, что для гироскопа возможны
оо4 движений Рауса, которые легко определить, следуя обычному способу п. 56.
Если, введя два неопределенных множителя X и v, мы развернем условие стационарности
8Я— vS/Cc — (Ti8Ti Hr T28Ta + Tb5Tb) = О,
полагая в нем г = г0 и, следовательно, Sr = 0, то придем к уравнениям
p = v Ti, <7 = vT2,
VH-^Ti=ssO, vg + ^a = 0, (П7)
. А Л
Cvr0+ /U1f3=- д^,
где, в случае тяжелого гироскопа, надо взять
dJl-Pz
д1з
Вторая пара уравнений (117), если исключим из нее р и q при помощи первых двух, дает
(v2_|_A) Tl = о, (v2 + X)Ta=0, так что должно быть или
Ti = Ta = °.
или
X = — V2.
В первом случае, когда = Ta = ^ и> следовательно, -fa = 1,
гироскопическая ось г все время сохраняет направление (в ту или другую сторону) неподвижной оси С и, в частности, вертикальное направление, если действующие силы сводятся к весу; гироскоп равномерно вращается вокруг этой оси с угловой скоростью, проекции которой суть p = q = 0, г = г0 (гл. VIII, п. 35). Как известно, это движение осуществляется (теоретически — строго, практически--------C ХО-
РОШИМ приближением) волчком (гл. VIII, п. 42), если позаботиться
о том, чтобы в начальный момент его ось была вертикальна (спящий волчок).
