Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Этот метод состоит, как известно, в присоединении к уравнениям (107) символического уравнения
П
8Zo+2 МЛ = O1 (108)
Г=1
где 8/0, 8fr обозначают виртуальные вариации, а множители должны рассматриваться как вспомогательные неизвестные. Исключая эта
328
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
множители Ji из п уравнений, объединенных в уравнении (108), и присоединяя уравнения, которые таким образом получатся, к уравнениям (107), мы придем к системе, эквивалентной системе, состоящей из уравнений (107) и из уравнения 8/0 = 0.
Другими словами, можно сказать, что уравнения (107), (108), по существу, содержат две группы уравнений (А) и (В), из которых уравнения (Л) составляют систему, инвариантную относительно заданной системы дифференциальных уравнений с одними только х, а уравнения (В) дают определение множителей Ji в функциях от х. Отсюда следует, что если продифференцируем по t систему уравнений (107), (108) или эквивалентную ей систему (Л), (В) и примем, конечно, во внимание систему (36), то частичная система (А) в силу своего инвариантного характера не дает места никакому новому соотношению, тогда как система (Б) приведет к такому же числу уравнений (В'), которые определят Производные ОТ множителей [I в функциях от jc. Таким образом, можно также сказать, что система (107),
(108), как и эквивалентная ей система (А), (В), инвариантна относительно расширенной системы дифференциальных уравнений с п-\-т неизвестными х и (4, которая получается путем присоединения к уравнениям (36) уравнений (В'), так как, дифференцируя уравнения (Л) и (В) и принимая во внимание уравнения (36), (В'), мы не придем к какому-нибудь соотношению между х, |х, t, отличному от уравнений (107), (108).
Это и есть результат, от которого следует исходить при фактическом приведении системы дифференциальных уравнений и идти к определению стационарных решений, о которых идет речь.
Необходимо признать, что, с теоретической точки зрения, способ множителей как способ, преобразующий первоначальную задачу, сводящуюся к системе дифференциальных уравнений с п неизвестными, в аналогичный вопрос, связанный с системой уравнений с п-\-т неизвестными, не представляет преимуществ по сравнению с первоначальным способом. Однако вместе с указанным выше преимуществом, заключающимся в том, что его применение позволяет избежать предварительного решения уравнений (107), он соединяет еще достоинство особенной алгоритмической ясности, которая, как мы увидим, будет ценна в механических приложениях, так как допускает прямое и изящное истолкование природы движения.
§ 10. Примеры
57. Свободная точка, находящаяся под действием консервативных
СИЛ, ОБЛАДАЮЩИХ ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ. ИлЛЮСТрИруеЙ Теперь Общие
рассуждения предыдущего параграфа, применяя их к некоторым частным задачам, которые в свою очередь связаны с примерами, изложенными в § 8. Рассмотрим прежде всего свободную точку (масса которой равна 1), находящуюся пол действием такой консервативней
§ 10. ПРИМЕРЫ
329
силы, что соответствующий потенциал U, отнесенный к цилиндрическим координатам г, <?, % относительно галилеевой системы, не будет зависеть от угла <р.
Мы уже знаем (п. 46), что в этом случае существует интеграл площадей P^ = C, так что на основании п. 54 для точки возможны оо2 движений Рауса.
Для. определения этих движений возьмем прежде всего приведенную характеристическую функцию (п. 46)
и согласно п. 54 присоединим к символическому уравнению 8// = 0 условие, заключающееся в том, что игнорируемая координата у должна зависеть линейно от t.
Как было замечено в п. 46, равенство ЬН = 0 можно истолковать как характеристическое условие возможных положений равновесия некоторой фиктивной точки, которая имеет одинаковые с заданной точкой координаты г и г в любой меридианной плоскости и находится под действием силы, являющейся производной от потенциала
поэтому значения координат г, z, соответствующих этим положениям равновесия фиктивной точки и, следовательно, движениям Рауса действительной точки, определяются двумя уравнениями
Всякое решение r0, Z0 этих уравнений определяет окружность (с осью z, радиусом г0 и высотою Z0), так что мы имеем здесь дело с равномерными круговыми движениями, а именно с оо2 таких движений, так как они зависят от двух произвольных постоянных (постоянной с площадей и начального угла <?0).
58. Плоская задача трех тел. Обратимся к результатам п. 47, предполагая, что движение трех тел, P0, P1, P2, происходит в плоскости Sr). Полагая равными нулю третьи координаты и соответствующие проекции количества движения, мы будем иметь для характеристической функции на основании формулы (96) выражение
+ 2^1+/?)3+*:? i+?2)2}-^
(960
где
(97)
330
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Если речь идет о системе, находящейся под действием только внутренних сил, то, как уже упоминалось в п. 24, останутся в силе He только интегралы количеств движения, которые здесь будут полностью использованы для приведения (согласно п. 47) уравнений относительного движения к канонической форме Пуанкаре, но и интегралы результирующего момента количеств движения К = const. Так как движение происходит в плоскости Syj, то достаточно выбрать в ней центр приведения, для того чтобы вектор к был перпендикулярен к этой плоскости, и нам останется только рассмотреть осевой интеграл моментов /С = AT3 = const.
