Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ph =Ш (Л= 1, 2,..., я),
дН (5')
4m±j dpm+j (у —1,2,...,« т),
qr = Tjt (/-=1,2,...,/«), (5")
то уравнения (5') будут обязательно удовлетворяться только что указанными 2 (я — т) разрешенными уравнениями; а в силу тех же явных выражений ph и qm+j равенства (5") сводятся к системе т уравнений относительно qv ..., qm, т. е. к системе порядка т. Интегрирование этой системы введет т произвольных постоянных; соответствующие уравнения интегралов, присоединенные к равенствам (105) и (106), как раз дадут искомый класс оо™ решений для заданной канонической системы. Один частный случай, заслуживающий упоминания, в котором т = п, получен на основании замечания п. 40, так как форма уравнений (71), позволяет видеть, что речь идет
о системе, находящейся в инволюции.
Естественно, что общность решений, к которой мы приходим таким способом, возрастает, когда какое-нибудь из известных инвариантных соотношений (105) является истинным интегралом и поэтому содержит произвольную постоянную; поэтому если при приведении мы прямо используем т интегралов, находящихся попарно в инволюции, то придем к классу оо2”1 частных решений,
326
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
54. Движение по Раусу. Результат предыдущего пункта находит важное применение, когда каноническая система имеет m игнорируемых координат qv ^2, ..., qm. Как мы уже знаем (п. 42), в этом случае существуют т интегралов обобщенных количеств движения
Pr-Pr = 0 (г = 1, 2, ... , /и); (83)
соответствующая приведенная характеристическая функция H является не чем иным, как первоначальной функцией Н, в которой вместо каждого рг подставлено соответствующее постоянное значение р%. Если теперь сопоставим условия стационарности (106) с каноническими уравнениями
дН • SH / ¦ і п \ /с \
Pm+} яа Чт+j я„ 0—1> 2,..., п т), (5а)
°4m+j 0Рт+з
то увидим, что искомые стационарные решения будут меростатическими (см. гл. VI, п. 24); точнее, каждое такое решение состоит из решения уравнений (5а), статического относительно pm+j, qm±j, к которому надо присоединить постоянные значения также и для рг, a qr на основании остальных уравнений
^ Ж (/¦= 1, 2, .. . , т) (5а)
будут линейными функциями от t.
Этот тип семейств оо8"* стационарных решений был изучен Раусом в частном предположении динамического случая; и поэтому движения, которые определяются этими решениями, называются движениями по Раусу.
55. Заслуживает внимания то обстоятельство, что с теоретической точки зрения рассмотренный в п. 53 случай оказывается только более общим случаем Рауса, разобранным в предыдущем пункте. Действительно, как это доказывается в теории преобразований прикосновения, инвариантные соотношения (105), находящиеся в инволюции, можно всегда привести надлежащим (вполне) каноническим преобразованием переменных р, q к простейшему виду
Pr = O (г= 1, 2, . .., т); (105')
эти инвариантные соотношения подразумеваются выполненными в случае Рауса.
Это замечание приводит к почти непосредственному доказательству результата п. 30. Достаточно заметить, что, когда выполнено преобразование, приводящее равенства’ (105) к виду (105'), инвариантность этих последних соотношений в силу канонических уравнений
Pr-----(г-1,2,..,, т)
S 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
327-
влечет за собой то, что т производные dH/dqr должны тождественно обращаться, в нуль в силу равенств (1057), откуда, полагая преобразование выполненным в обратном порядке, мы прямо увидим, что условия стационарности характеристической функции Н, соответственно равенствам (105), выражаются только посредством 2 (я—т) соотношений (106).
Это доказательство оказывается, несомненно, более простым, чем доказательство п. 30; нужно, однако, заметить, что оно опирается на теорию преобразований прикосновения, которую мы здесь не затрагивали. Во всяком случае, даже если мы отвлечемся от этого несущественного обстоятельства, теоретическая возможность сведения т инвариантных соотношений, находящихся в инволюции (105), к соотношениям (105') не лишает интереса рассуждения, которые мы развили в пп. 28, 30, относя систему к совершенно общим координатам.
Существенная цель нашего исследования состояла в определении некоторых классов решений простыми средствами, или, по крайней мере, более простыми, чем полное интегрирование заданной системы дифференциальных уравнений, каковым является интегрирование приведенной системы порядка т < 2я. Далее, определение преобразования прикосновения, пригодного для приведения случая п. 53 к случаю Рауса, вообще говоря, требует операций порядка более высокого, чем т, так что его нельзя рассматривать как полезное орудие для вычисления, хотя совершенно законно и даже удобно пользоваться им как средством для доказательства.
56. Замечания о действительном построении стационарных решений. Чтобы выразить условия стационарности функции f0 соответственно некоторому числу т соотношений
/г — 0 (1-=1, 2, ..., т), (107)
инвариантных относительно заданной системы дифференциальных уравнений, я-го порядка (96), нет нужды строго следовать сПог.обу, указанному в наших теоретических выкладках в п. 30, т. е. прежде всего разрешать систему (107) относительно я аргументов и после исключения этих аргументов из /0 приравнивать нулю виртуальную вариацию приведенной таким образом функции /0. Наоборот, как известно из анализа, можно избежать предварительного решения уравнения (107), прибегая к классическому методу множителей.
