Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим наконец, что слагаемое, прибавляемое к потенциалу от каждого из тел, создающих потенциал и предполагаемых отдаленными, согласно равенству (101) будет прямо пропорционально массе т тела и обратно пропорционально кубу расстояния р от О; если принять это во внимание, то окажется, что в конкретном случае Земли можно пренебречь действием других планет и рассматривать только два тела: Солнце — вследствие его большой массы и Луну — вследствие ее относительно малого расстояния.
§ 9. Определение частных решений, если известны первые интегралы или инвариантные соотношения а)
51. Стационарные решения. В двух предыдущих параграфах мы изучили в соответствии с общими соображениями п. 41 наибольшее понижение порядка, необходимое для определения общего решения канонической системы, которое возможно в случае знания некоторого числа интегралов (произвольных или специального вида).
Здесь мы остановимся на более скромной, но в то же время очень интересной (в смысле ее широкой приложимости) задаче отыскания минимальных аналитических средств, достаточных для определения некоторого класса частных решений, когда эти решения можно получить на основании знания интегралов или инвариантных соотношений.
При этом существенное значение будут иметь рассуждения пп. 27, 28 об инвариантности условий стационарности; с механической точки
х) Cm. с этой целью упражнения 14 и 15 гл. VIII.
*) Levi-Civita, Мемуар, цитированный на стр. 281: см. также Burgat' ti, Rend. Ясс. Lincel (5), т. 11, 1902lt стр. 309-314.
21*
324
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
зрения наиболее важный случай будет тот, когда полная энергия H имеет стационарное значение в абсолютном смысле или в зависимости от инвариантных соотношений или каких-либо интегралов. Решения, к которым мы таким образом приходим, мы будем называть, следуя Раусу, стационарными.
52. Статические решения. Чтобы начать с простого, но не лишенного, однако, интереса случая, возьмем снова каноническую систему, характеристическая функция которой не зависит от t. В этом случае существует интеграл H= const, и, согласно следствию п. 27, соответствующее условие стационарности 8// = 0 позволяет написать 2п инвариантных соотношений
tS=0 = (104)
которые приводят каноническую систему к виду рл = qh = 0 и показывают, что решения, при которых удовлетворяется условие 8H = О, все являются как раз такими, при которых отдельные р и q сохраняют постоянные значения. Следовательно, мы имеем дело со статическим решением в узком смысле п. 17 гл. VI; так как число 2п уравнений (104) как раз равно числу постоянных p0, q°, то эти уравнения, за исключением случаев несовместности и неопределенное»!, пригодны для определения искомых решений.
На любое из этих решений о распространяется замечание, вытекающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно, что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е. условие, выражаемое посредством одних только соотношений неравенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104) условие, что H имеет для решения о действительный максимум или минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17); замечание о лагранжевых системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же самой главы, всякая такая лагранжева система определяет каноническую систему с характеристической функцией, не зависящей от t, и обратно.
53. Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т < п инвариантных соотношений, «аходящихся в инволюции я разрешимых относительно т переменных р, то можно определить OOm частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка т.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
325
Действительно, пусть известные инвариантные соотношения даны в разрешенном виде
Pr=sVriPm-H, • • •> Рп, Qu-..,?») (/-=1,2,...,/«); (105)
как мы знаем из п. 30, если наложим на функцию H условие стационарности, имея в виду эти т соотношений (т. е. если мы исключим из H величины Pi, р%, -..,рт посредством равенста (105) и, обозначив через H приведенную таким образом функцию, положим 8//=0), то явные уравнения, эквивалентные этому условию стационарности, сведутся к 2 (я — т) уравнениям
^r0- ^=1'2.....*—* (10S)
так как из них непосредственно следует, что остальные производные dHjdqr (/-=I, 2, ...,т) обращаются в нуль.
Если, обращаясь к условиям, образующим нормальный случай, предположим, что уравнения (106) разрешимы относительно pm+j, Ят+j (/==!> 2,..., п — т), то эти уравнения и равенства (105) позволяют полностью выразить все р и qm+i, ..., qn через qv ..., qm.
С другой стороны, если первоначальную каноническую систему представим себе разбитой на две частичные системы
