Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
/ = л (a2-f-Pa) + Cf* = Л-HC—Л)
где а, р, у обозначают направляющие косинусы полупрямой OP относительно осей, неподвижных в теле. Наконец, последний косинус f зависит от двух троек направляющих косинусов U1, и2, U3 прямой OP и а3, рз, Y3 оси Oz (относительно неподвижной системы осей):
Т = в3«і + Р3«а + Ї8“*;
принимая во внимание, что
а3 = sin 4* sin О, P3 = — cos^sinQ, = cos^ выражение для у можно написать в виде
Y = sin 9 (U1 sin ф — U2 cos <j>) -f" ^scos ООО)
Заметим теперь, что члены потенциала V, не зависящие от обобщенных координат 0, <р, ф (но зависящие все же от времени), ничего не прибавят в формулах, выражающих канонические уравнения движения.
§ 8. ПРИМЕРА
321
Поэтому в выражении (99) для потенциала V мы можем пренебречь как двумя первыми слагаемыми
входящим на основании выражения для / в третье слагаемое, так что за потенциал можно принять функцию
зависящую, кроме времени, еще и от углов Эйлера согласно равенству (100).
Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки P необходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на осно--вании которого (поскольку действие силы зависит только от ориентировки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, каноническими), составляемыми в предположении, что центр тяжести неподвижен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять выражение (T) в канонических переменных, приведенное в предыдущем пункте. При помощи выражений (T) для живой силы и (101) для потенциала U мы можем получить явное представление характеристической функции H-(T) — U.
Введем дальнейшее упрощение в задачу, предполагая, что движение отдаленной точки P известно; с этой целью ограничимся наиболее замечательным случаем, в котором движение точки P можно строго или, по крайней мере, приближенно рассматривать так, как если бы эта точка притягивалась только одной Землей. Тогда, если имеются в виду отдаленные тела, мы приходим к задаче двух тел, одно из которых есть точка Р, а другое — Земля, масса которой т0 предполагается сосредоточенной в центре тяжести О; в пп. 4 и 21 гл. III мы видели, что при таких условиях всегда возможны круговые движения (частный случай так называемого кеплерова движения), угловая скорость которых п связана с радиусом орбиты соотношением
откуда получаем
fm^m /тШ
J3 > рз
так и членом
3 fmA
2 P'
(101)
fm
(102)
21 Зак. 8368. Т. Леви-Чивита и У. Амальдв
т
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Предположим, что точка P совершает именно такое равномерное движение по окружности.
Если В ЭТОМ предположении за неподвижную ПЛОСКОСТЬ возьмем плоскость круговой орбиты и обозначим через W = nt-\-w0 долготу точки Р, т. е. угол полупрямой OP с осью ?, то будем иметь
U1 = COS W, U2 = sill w, ий — О,
так что равенство (100) принимает вид
Y == sin 0 sin (Ц* — w), (100')
а потенциал (101), если примем во внимание равенство (102), будет равен
U=- ~(С—Л) Sin2Q [I —cos2(4i — w)]. (ЮГ)
* т
Таким образом, мы видим, что, в то время как живая сила (T) зависит (в отношении того, что касается координат) исключительно от угла нутации 9, потенциал U, даже в схематически простом случае, когда движение точки P относительно О предполагается круговым, явно содержит, наряду с 6, угол <j), а также и время, входящее через посредство долготы w. Поэтому существует один только первый интеграл p,f = const постоянства угловой гироскопической скорости, а поскольку H зависит через посредство w от времени, то даже интеграл энергии не будет иметь места.
Ho мы ограничимся рассмотрением так называемых вековых действий, т. е. изучением движения за большой промежуток времени, отвлекаясь от возможных малых колебаний. Для этой цели, как это будет следовать из общих соображений, которые мы изложим в п. 74, приближенно вместо U (или слагаемого из U), зависящего от времени по какому-нибудь периодическому закону, можно подставить его среднее значение за период T или, так как пТ — 2гс,
T 2*
[?/]=-у- J Udtr=Z-L J udw.
о о
Далее, в настоящем случае U есть сумма двух членов: одного, не зависящего от времени, и другого, содержащего cos 2 (ty — w); среднее значение этого последнего члена по отношению к w, очевидно, равно нулю, так чтр мы пришли к изучению вращательного движения вокруг точки О при наличии потенциала
uI=-T<с - л)sina 9- (103)
1 4“ —~
1 m
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ
323
Так как этот потенциал, так же как и живая сила, зависит исключительно от угла нутации 0г), то имеют место оба первых интеграла:
/?, = const, Pij = const;
на основании известного следствия из теоремы Лиувилля мы заключаем, что вековые действия притяжения отдаленного тела на движение Земли вокруг ее центра тяжести можно представить в квадратурах.
Если на движение Земли влияют несколько тел, то потенциал притяжения, зависящий от каждого из них, вычисляется тем же способом. Так как речь идет об отдаленных телах, то вместо потенциала (101') надо подставить сумму стольких аналогичных членов, сколько имеется тел, создающих потенциал; для такой суммы также будут иметь место высказанные выше заключения, относящиеся к интегрированию дифференциальных уравнений движения Земли вокруг центра тяжести, в частности, и то заключение, что для определения вековых действий мы приходим к квадратурам.
