Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
где т0, тх, т2 суть массы трех тел и
A1 = PqPi, &2 = P0P 2, Д = PiP2.
48. Тело, закрепленное в одной точке. Частный случай тяжелого твердого тела. В случае движения твердого тела, закрепленного в одной точке, каноническое выражение живой силы, как мы видели в п. 6, в, есть
/тп _ 1 / (^ocos 'f + 0 siHtp)2 і (/'е sin^-ocostP)2 , РІ\
' ' ~'2 I А В т С J’
где
Pnf- Ptp COS 0
sin 0
Координата ф явно в него не входит, так что всякий раз, когда и потенциал U активных сил окажется не зависящим от эта координата будет игнорируемой, а для соответствующей задачи о движении будет существовать первый интеграл рф = const, в котором, если вспомним (п. 6, в), что равно Afil + Cr^3, мы узнаем инте-
грал момента количеств движения относительно неподвижной оси ?.
Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указанное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еще один интеграл, который не зависел бы от t и был бы отличен от интеграла H= const энергии и, кроме ТОГО, находился бы в ИНВОЛЮЦИИ С Pif (т. е. не содержал явно ^), чтобы задача о движении твердого тела вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством квадратур.
Чтобы разъяснить важность этого заключения, полезно истолковать допущенное выше существенное условие dUjd= 0. Из толкования, данного в п. 5 гл. IV для обобщенных сил, действующих на твердое тело и соответствующих эйлеровым углам, следует, что это условие характеризует тот механический факт, что результирующий момент M активных сил относительно неподвижной точки О перпендикулярен к неподвижной оси С. Это обстоятельство по отношению к неподвижной вертикальной оси имеет место в том случае, когда активная сила
§ 8. ПРИМЕРЫ
319
представляет собой вес, как это видно из прямых геометрических соображений, а также и из известного выражения потенциала (гл. VIII, п. 21)
V — P (TijcO + ТаУо + Ъ2о), где х0, у0, Z0 суть координаты центра тяжести и
= sin 6 siti ср, = sin 0 cos ср, If3 = cos 9. (98)
Мы теперь в состоянии доказать утверждение п. 24 гл. VIII, чго задача о движении тяжелого твердого тела вокруг закрепленной точки будет разрешима при помощи только квадратур во всех тех случаях, когда для уравнений Эйлера—Пуассона удается указать один интеграл, не зависящий от t и отличный от интегралов моментов количеств движения (p^ = const) и энергии (W = Const). Действительно, такой интеграл, поскольку он относится к уравнениям Эйлера—Пуассона, может зависеть только от аргументов р, q, г, Y1, ^2, Y3, выражения
которых через канонические переменные I j > даваемые равен-
ствами (14') п. 6 и (98), не содержат Поэтому необходимо будет иметь место равенство Ofjdij = 0, так что речь идет об интеграле, находящемся в инволюции с интегралом р^ = Const, и потому непосредственно будет применимо следствие из теоремы Лиувилля п. 45.
49. Тело гироскопической структуры. Если предположить, что А —В, то выражение живой силы, упомянутое в предыдущем пункте, получает вид
и, как мы видим, не зависит не только от <|>, но также и от ср, так что если то же самое справедливо и для потенциала U (который в этом предположении будет зависеть только от в), то наряду с первым интегралом р,j - = const будем иметь еще один первый интеграл /^ = Const, который в силу второго из равенств (14) п. 6 равносилен г = const, т. е. выражает постоянство проекции угловой скорости твердого тела на ось симметрии. Так как оба этих интеграла не зависят от t, отличны от H и находятся в инволюции, то можно прямо утверждать на основании следствия из теоремы Лиувилля (п. 45), что задача разрешима в одних только квадратурах. Классический пример мы имеем в случае Лагранжа — Пуассона (тяжелый гироскоп, гл. VIII, § 6), когда упомянутое уже выражение потенциала приводится к виду U=Pztfa-Pz0 COS6; утверждение п. 27 главы VIII, таким образом, доказано.
Другая важная задача того же типа будет разобрана в следующем пункте.
т
ҐЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
50. Движение Земли вокруг ее центра тяжести под действием ПРИТЯЖЕНИЯ ОТДАЛЕННЫМ ТЕЛОМ. В п. 31 гл. XI т. I мы видели, что потенциал притяжения V каким-нибудь телом (например, Землею), масса которого т0, какой-нибудь отдаленной точки P с массою т с достаточным приближением можно принять равным
(99)
где / обозначает, как обычно, постоянную всемирного тяготения, р — расстояние точки P от центра тяжести О Земли, Si — полярный момент инерции Земли относительно О (полусумма трех главных моментов инерции) и /—осевой момент инерции относительно OP. Для нас существенно отметить, что потенциал V можно истолковать так же, как потенциал полного притяжения, которое точка P оказывает на Землю, поскольку это справедливо относительно отдельных элементарных потенциалов, суммой которых является V.
Для уточнения постановки задачи уподобим Землю гироскопу, имеющему осью полярную ось Oz (А = В), и обозначим через 6, ®, ф углы Эйлера неподвижной в теле системы осей Oxyz относительно осей неизменного направления. Если представим себе, что нам известны как абсолютное движение центра тяжести О Земли, так и движение отдаленной точки Р, то расстояние р и направляющие косинусы U1, а9, и3 направленной прямой OP относительно неподвижных осей нужно рассматривать как известные функции времени. С другой стороны, так как SK = А -(- С/2 есть постоянная, то из основного соотношения (16) гл. X т. I мы имеем
