Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
1
U{r, г) —
47. Задача п~{-1 тел: каноническая форма Пуанкаре для уравнений относительного движения. Значительно более важная иллюстрация общих рассуждений предыдущего параграфа дается в задаче п-\- 1 тел (или вообще га-{-1 свободных точек, находящихся исключительно под действием внутренних сил), когда стараются получить решение из интегралов количеств движения (или количества движения центра тяжести)
Qi = C1, Q2=C2, Qj = ^-3’
которые, как это отмечалось в п. 24,а, находятся в инволюции.
В случае взаимных ньютонианских притяжений, которыми мы здесь ограничимся, соответствующий потенциал (гл. V, п. 32) зависит
316
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
только от разностей
Xi = U-?о> У{ = Ъ — yIo- ^ = Ci-C0 (1=1, 2, ..., и) (92)
между абсолютными координатами (т. е. между координатами относительно галилеевой системы отсчета) любой точки Pi и координатами заданной точки P0 системы (центральное тело).
Это обстоятельство подсказывает, что удобно принять за лагранжевы параметры системы вместо 3(ra-f-l) абсолютных координат п -J-1 тел 3п относительных координат п из них относительно центрального тела P0 и абсолютные координаты S0, *]0, C0 этого последнего; действительно, координаты S0, т]0, Co по отношению к характеристической функции H=(T) — U задачи представляют собой игнорируемые координаты, и три соответствующих интеграла количеств движения (п. 4) будут тождественны с Q1, Q2, Qg, так что последующее приведение системы будет сводиться к элементарному случаю п. 42.
Для этой цели заметим сначала, что к указанной замене переменных, когда вместо S», ^i, Cf подставляются выражения (92) и S0, ї10, C0, надо присоединить, конечно, и замену сопряженных переменных (п. 24,а)
так что в общей сложности преобразование между двумя парами рядов из 3 (я —(— 1) переменных
будет каноническим. Теперь ясно, что для этого достаточно, чтобы каноническими были преобразования между парами из л-f 1 переменных, соответствующих отдельным осям; так что на основании второго примера из п. 13 мы непосредственно будем иметь, что за переменные, сопряженные с Xi, yf, z{, S0, Yi0, C0, должны быть соответственно приняты
Таким образом (замечание Пуанкаре), в задаче п -J- 1 тел за сопряженные переменные можно принять, наряду с относительными координатами п тел по отношению к центральному телу и проекциями соответствующих количеств движения, абсолютные координаты центрального тела и проекции количества движения центра инерции.
Далее, если мы выразим в этих переменных характеристическую функцию H=(T) — U, то S0, Tj0, C0 явно в нее не войдут, потому
(/==0, I, 2, .. .,га)
(1 = 0,1,..п) и
(г= 1, 2, .. .,га)
Pi Ki, Cfi Tti Pf
(г = 1, 2, ...,п),
П
П
п
(93)
Po — S Ki — Qi, % —
Чо — 2 Xi — ^2> го — S Р< — Q3•
i = 1 г
§ 8. ПРИМЕРЫ
317
что они не входят, как это отмечалось с самого начала, ни в потенциал U, ни в выражение (T), которое, как это было отмечено в п. 6, б, зависит исключительно от те, у, р или на основании равенства (93) от р, q, г. Соответственно этим трем игнорируемым параметрам найдем три интеграла
Po = С1 > Я О — С2’ rO ~ сз>
и достаточно принять во внимание равенства (93), чтобы видеть, что мы имеем дело как раз с первоначальными интегралами количества движения центра тяжести.
Благодаря наличию этих трех интегралов согласно п. 12 можно понизить число степеней свободы канонической системы на три или, что одно и то же, понизить число переменных на шесть. Вследствие этого мы придем к так называемой канонической форме Пуанкаре для уравнений относительного движения (относительно центрального тела) в задаче п-f-1 тел. Мы знаем (п. 42), что когда проинтегрированы эти уравнения, то игнорируемые координаты ?0, ti0, C0 центрального тела определяются простыми квадратурами.
Далее, характеристическая функция этих канонических уравнений относительного движения определится, естественно, уравнением H = = (T) — U, в котором потенциал U предполагается выраженным через относительные координаты Xi, yiy Zi, и, согласно равенствам (93), в равенстве п. 6, б
П
^ = <*S+x!+tf>
г=о
вместо Izi, Xi, Р» O = I, 2, ...,га) подставлены соответственно pt, qt, г і, а вместо тг0, ^0, р0—величины
п п п
^ - 2 Pu C2- 2 Я и сз— 2 I0i.
і=і г=1 і=і
Относительно последней подстановки надо сделать одно важное замечание. Три интеграла (94) в силу их значения выражают постоянство скорости центра тяжести системы, а так как все предшествующее имеет силу для произвольной галилеевой системы осей, то мы можем прямо взять одну такую систему с началом в центре тяжести, благодаря чему придется положить C1 = C2 = C3 = 0. Таким образом, для характеристической функции получаем окончательное выражение
н=т?і<*’?+»ї+г»+
і = I
<85>
і «і <=і 1=1
318
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
которое в случае п = 2 для трех тел принимает вид
и=аг (Pt+Ib+1)+(Pi+ Ч;¦+І)-+
+і {(Pl ¦+ Pj'+<?•++('¦+r»>s) -и- (96)
В этом последнем случае явное выражение потенциала, относящегося к взаимному притяжению трех тел, определяется равенством