Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь легко убедиться, что, после того как будет проинтегрирована система (85) порядка 2 (л—1), достаточно одной квадратуры для того, чтобы получить решение первоначальной системы (5). Действительно, интегралы системы (85) позволят выразить ph, qh при h— I, 2, . .., п— 1 в функциях от qn и от 2 (я — 1) постоянных интегрирования, кроме Е, которое входит явно в виде параметра' в К', с другой стороны, сама функция К, когда в нее вместо 2 (я — 1) аргументов ph, qh подставляют только что указанные выражения, на основании равенств (6') дает рп, так что тем самым в фазовом пространстве Ф2п будут определены оо2"-1 траекторий любого движения, определяемого системой (5). Поэтому остается только определить закон движения, для чего.достаточно обратиться к уравнению (84), которым мы уже
§ 7. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ИЗВЕСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 311
пользовались для исключения t из системы (5). Если напишем это уравнение в виде
ai — ^ дрп
и заметим, что правую часть можно выразить в функции от qn (и от 2п — 1 введенных до сих пор произвольных !постоянных), то увидим, что интегрирование задачи дополнится еще одной квадратурой, которая введет последнюю произвольную постоянную.
44. Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли): если для канонической системы порядка
2п известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего решения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных переменных.
С точки зрения применения к конкретным задачам особую важность имеет случай, когда т = п, или случай, когда интегрирование канонической системы может быть сведено к операции нулевого порядка, т. е. к конечным операциям и к квадратурам. Мы ограничимся здесь доказательством теоремы С. Ли для этого частного случая, который известен под названием случая Лиувилля 1J *).
При доказательстве существенным образом будем опираться на метод интегрирования Гамильтона — Якоби, а именно на результат п. 35, согласно которому, чтобы иметь интеграл канонической системы (5) в конечном виде, достаточно получить полный интеграл V уравнения с частными производными
~ + 0. (72)
Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что наличие п интегралов системы (5)
/г (Pk IO = const =Kr (г=1, 2, ...,л), (86)
*) Доказательство теоремы С. Ли в общем случае см., например, Gour-sat, Lemons sur !’integration des equations aux derivees partielles du premier ordre; 2-ое изд.; Paris, 1921, гл. VIII.
*) Гюнтер H. М., Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка, 1934 г.; Имшенецкий В. Г., Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядков, 1916 г. (Прим. ред.)
312
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно га переменных р, позволяет определить посредством одних только квадратур полный интеграл V (д | те | f) уравнения (72).
Для этой цели напишем уравнения, выражающие предположения
о том, что функции /г являются интегралами уравнений (5) и находятся между собой в инволюции. Первое предположение (п. 21) выразится уравнениями
-^ + (Я,Л) = 0 (г = 1, 2, ..., га), (87)
а инволюционный характер интегралов /г выразится уравнениями
(Л. Л) = 0 (г, S= 1, 2, ..., га), (88)
которые здесь, в отличие от того, что мы имеем для инвариантных соотношений, будут существовать сами по себе, т. е. независимо от уравнений (86), так как они должны иметь место при всяком выборе постоянных Itr.
Эти две группы условий (87), (88) формально можно выразить одной схемой, если наряду с ph, qh (h= I, 2, ...,га) мы введем еще одну пару сопряженных переменных р0, q0 = t, где р0 обозначает вспомогательный аргумент, который не входит ни в Я, ни в одну из /, и если для какой-нибудь пары функций a, v от двух сопряженных рядов переменных
( Ро /"¦ (89) wo = * 91 ?2 ••• qJ
обозначим через (и, v) скобки Пуассона относительно этих переменных.
Тогда, сохраняя обычное обозначение (и, г>) для скобок Пуассона относительно первоначальных переменных р, q, будем иметь . . ди dv ди dv , . .
ф> = ^?-?^+(й'
отсюда следует, в частности, что если обе функции и, v не зависят от р0, то скобки ( ) будут тождественны с обычными круг-
лыми скобками, и что
(р0 + И, /Г) = ^ + (Я, /,) (/-==1, 2, ..., п).
Мы видим, таким образом, что равенства (87), (88) йожно написать соответственно в виде
(Po н> fr) = °> (Zr. Л) = O (г, s = 1, 2, ..., п),
т. е. наши предположения можно выразить, говоря, что п-\- 1 функций /г и р0+H находятся попарно в инволюции относительно двух рядов (89) сопряженных переменных.
S 7. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ИЗВЕСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 313
