Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
dx
^ = Xm+j (/ = 2, ..., п Itl),
Где функции X получаются из первоначальных функций X посредством указанной подстановки и зависят только от хт+1, хт+2> •••» хп и, конечно, от т произвольных постоянных известных интегралов. Если мы примем во внимание, что интегрирование приведенной системы введет п — т произвольных постоянных, то увидим, что, присоединяя к общему интегралу этой системы т известных интегралов системы (36), мы придем к ее общему решению, так что можно сказать, что наличие т независимых интегралов допускает понижение на т единиц порядка операций интегрирования.
Необходимо отметить, что если для данной системы известны не первые интегралы, а только т инвариантных соотношений, независимых между собой, то из них можно получить выражения для т из неизвестных X и, как и выше, исключить эти т неизвестных из последних п — т уравнений (36); но приведенная система (36), которая таким образом получится, не будет содержать в себе произвольных постоянных, так что интегрирование этой системы порядка п — т даст уже не общий интеграл данной системы, а только некоторый класс ОО»-»» решений, т. е. именно тех решений, которые удовлетворяют указанным инвариантным соотношениям.
В ближайших пунктах мы будем применять эти соображения к каноническим системам, главным образом для того, чтобы выявить наибольшее число приведений, которые допускаются частным видом таких систем по сравнению с системами общего вида.
42. Элементарный случай понижения ранга канонических систем. Предположим, что каноническая система (5) имеет tn игнорируемых ксординат, т. е. соответствующая характеристическая функция H
§ 7. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ИЗВЕСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 309
не зависит от т из q координат, например от qu q%, qm. Тогда мы будем иметь т интегралов обобщенных количеств движения
pr = const =pl (г = 1, 2, ..., яг) (83)
равносильных т уравнениям рг = 0 канонической системы. Остальные 2я— т уравнений можно разделить на две группы: первую, состоящую из 2 (я — т) уравнений
дН • дН / • , о W= ч
Pm+j dqm+j ’ Чт\і дрм+j (/==1, 2, ..., я яг), (5а)
и вторую — из остальных яг уравнений
= (г=»1, 2, .... я»). (5«)
Если примем во внимание уравнения (83) и то обстоятельство, что H
не зависит от qv q%.....qm, то увидим, что уравнения (5а) составляют
каноническую систему относительно ОДНИХ ТОЛЬКО переменных Pm+Jj qm+j{J= 1, 2, ..., я — яг), содержащую в виде параметров яг постоянных /7°; после того как для этой системы определится ее общее
решение, зависящее, помимо ри от остальных 2 (я — яг) произвольных постоянных, правые части уравнений (5б), при помощи подстановки этого решения и интегралов (83), приведутся к известным функциям от одного только переменного t (и от 2 я — яг введенных произвольных постоянных), так что остальные неизвестные функции qr(r=* 1, 2, ..., яг) получатся посредством яг квадратур, которые введут яг остальных произвольных постоянных.
Таким образом, наличие яг интегралов (83) дает возможность понизить порядок канонической системы на 2 яг единиц, а не на яг, как это было в общем случае.
43. Понижение порядка канонической системы при помощи интеграла энергии. Другой замечательный случай приводимости канонических систем мы будем иметь, когда характеристическая функция H не зависит явно от t и поэтому, как мы знаем из п. 4, существует интеграл энергии
H = const = Е. (6)
Таким образом, при наличии интеграла (6) интегрирование канонической системы (5) порядка 2п можно свести к интегрированию другой системы, тоже канонической, порядка 2 (я — 1) и к последующей квадратуре.
Действительно, заметим прежде всего, что если исключить возможные статические решения (в которых все р и q остаются постоянными), то для всякого другого решения о заданной канонической системы, по крайней мере, один из аргументов р и q действительно
310
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
зависит от t\ если таким аргументом является, например, qn, то всегда можно будет для t определить промежуток изменения, в котором производная qn = dqjdt будет оставаться отличной от нуля.
В таком промежутке времени рассматриваемое решение о определяет между t и qn одно-однозначное соответствие, так что за независимое переменное можно будет принять qn вместо L
С другой стороны, в силу последнего из уравнений (5) вместе с производной qn, отличной от нуля в этом промежутке, надо принять отличной от нуля и производную дН/дрп, так что интеграл (6) можно разрешить относительно рп в виде
Pn== K(Pl> • • •» Pn-V Чи • • •, Qn> Е). (6 )
S (5)
(84)
Заметив это, разделим почленно первые 2 (я— 1) уравнений (5)
на последнее
ддп дЯ <
dt дрп ’
принимая во внимание, что на основании уравнения (6)
дК __дН' дН_
ди ди ’ дрп’
где и—-один из аргументов
PvPto Pn-v Qv Qii •••» Ят придем к уравнениям
-ITk = -IT-, (А== 1, 2, ..., я —1), (85)
dqn dPh dQn Sqh
образующим каноническую систему с 2 (я — 1) неизвестными функциями ph, qh (h — I, 2, ...,я — 1) от qn, характеристическая функция которой К, помимо этих 2 (л—-1) аргументов,, зависит еще от нового независимого переменного qn (и от произвольной постоянной Е).
