Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, предполагая, что V1 ф 0, найдем, что две системы уравнений
определяют на основании п. 12 вполне каноническое преобразование между двумя парами рядов сопряженных переменных
для того чтобы иметь прямое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби для нашего случая, остается только выполнить это преобразование над данной канонической системой. Так как речь идет о вполне каноническом преобразовании, то новая характеристическая функция получится преобразованием функции Н(р, q), а для того чтобы вычислить эту преобразованную функцию, достаточно принять во внимание первые п из уравнений (80), так что после выполнения преобразования мы увидим, как это отмечалось с самого начала, что новая характеристическая функция будет как раз равна Е, если ее рассматривать
20 Зак. 2368. Т. Леви-Чив'ита и У. Амальдн
H = const,
(72")
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
как функцию от Tt1, тс2, ..., Ttn. Таким образом, доказано, что преобразованная каноническая система будет иметь вид
дЕ ; дЕ ,, . 0 ч
Ж’ (Л-1,2, ...,и)
или, вспоминая, что E не зависит от X, и обозначая через <ой производную дДIdith (зависящую от одних только те),
Ttft — 0, Sft = сой (H = 1,2,..., и).
Так как общим интегралом этой системы будет
Ttft = Const, Sft==CO,/-f'xft (h—\,2,...,n), (81)
где xft обозначают п новых произвольных постоянных, то заключаем, точно так же как и в п. 35, что общее решение первоначальной канонической системы определяется равенствами
Ph= (Л= 1,2,...,«)
при условии, что Ttft и х.Л рассматриваются как произвольные постоянные, a (Oft выражены через Ttft посредством уравнений
(*—1.2........п).
Все это имеет место в случае симметричного представления Пуанкаре. Если же, наоборот, мы выделяем один из аргументов тс, например Ttre, полагая его прямо равным E (как поступал Якоби), то величины Oi1 = DEjdit1, ..., шп_1 = dEj(htn_1 исчезают, так что на основании уравнений (81) вместе с тс постоянными будут также и S1, ..., ?га_!, тождественные с X1, .. ., xn_t; последняя сопряженная пара состоит из E — Ttn и Sn = t —10, где через —10 обозначена постоянная хп.
Мы имеем, таким образом, полное согласие с предыдущим пунктом. Здесь мы можем добавить, что вместо последних двух сопряженных переменных, E и t— /0, можно подставить, как это указывалось в п. 14, две их канонические комбинации:
і = 4’ l = —
где п есть произвольно заданная постоянная; предполагая, что в функцию W введена функция L, и представляя уравнения (80) согласно постановке Якоби, мы заключаем, что (вполне) каноническое преобразование между р, q и двумя рядами сопряженных переменных
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНА-----ЯКОБИ
30?
определяется уравнениями
(А = 1,2, ...,А),
сИГ dL *
40. Вывод ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ОДНОГО ЧАСТНОГО ИНТЕГРАЛА уравнений Гамильтона—'Якоби. Если для уравнения с частными производными
4г+н-° <72>
Ph
dW
_ ar ~~ dr-j
dqh
{і — I, 2, ..., я — 1),
мы знаем одно частное решение V(q\t), не зависящее от какой-либо произвольной постоянной (или даже заключающее некоторые такие постоянные, но не являющееся полным интегралом), то выводы п. 36, на основании которых было получено общее решение канонической системы (5), будут, конечно, неприложимы. Однако, как мы это сейчас докажем, из известного решения V(q\t) можно вывести систему п инвариантных соотношений относительно системы (5), т. е. п уравнений
(А = 1,2,..., я). (71)
Для этого, как мы знаем, необходимо показать, что производные по t от этих уравнений сводятся к тождествам в силу канонической системы и самих этих уравнений.
Напомним сначала, что решение V удовлетворяет уравнению (72), так как в H(p\q\t) вместо каждого ph подставляется соответствующая производная dV/dqh, так что, дифференцируя уравнение (72) по отдельным q, мы придем к п тождествам
d*V , дН , \\ дН а21/ _ ,. і 0 ч ,0о,
Otdqu^ dqh dpk dqhdqk~ ^ >> •••>«)• ( )
fc=i
Если теперь продифференцировать уравнения (71) по / и- вместо р, q подставить их выражения, даваемые канонической системой, то получатся равенства
дН d*V , дН д2К
. V дН PV ,.л о ч
^ Lidpk dqhdqk (А—1,2, . .., л),
dqh dtdqh ‘ jU dpk dqhdqk к=I
которые в силу равенств (82) удовлетворяются тождественно.
90*
308
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 7. Понижение порядка при наличии известных интегралов
41. общие соображения. Если задана система (нормальная) обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п
^ = Xi(XY) (/=1,2.п), (36)
то наличие некоторого числа интегралов позволяет, как на это уже указывалось (гл. II, п. 1) в случае уравнений движения одной свободной точки, понизить порядок системы. Действительно, если известны т независимых между собой интегралов, то из них можно получить выражение для т, неизвестных, например для Xu х2, ..., хт, в функциях от остальных неизвестных и от т произвольных постоянных, после чего, подставляя вместо этих X1, х2, .... хт их выражения в остальные п — т. уравнений (36), мы получим приведенную систему порядка п — т
