Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
303
функции W по qh, те,- не должен обращаться в нуль. Если примем во внимание, что постоянная E произвольна, то увидим, что, по существу, все сводится к отысканию интеграла W(q, тс) (удовлетворяющего условию V1 ф 0) дифференциального уравнения с частными производными
H = const, (72")
где правая часть представляет постоянную относительно переменных q и t, т. е. некоторую функцию от я, которую надо принять за выражение коэффициента E при t в функции V.
После определения такого полного интеграла W уравнения (72") общее решение (74) канонической системы на основании выражения (78) функции V можно написать в виде
d^
j- = CO/+ Xj
С/ = 1, 2,
я), (74')
где для краткости положено
SE
U=I, 2,
«)• (79)
Предыдущее приведение задачи, которым пользовался Пуанкаре, симметрично относительно постоянных те. Якоби, наоборот, выделял одну из постоянных те, например тси, принимая ее прямо за Е; вследствие этого функцию W в уравнении (78) надо рассматривать как неизвестную функцию, которая не зависит от t, а зависит только от q, E и остальных га — 1 произвольных постоянных It1, те2, ...,
В этом случае условие того, чтобы функция V была полным интегралом, может быть упрощено, по крайней мере в предположении, очевидно, выполняющемся^ всякий раз, когда мы имеем динамическую задачу, что какое-нубудь р, например рп, действительно входит в H1). Положив
d*W Ii
V'
(A,/=1, ‘2, ..., л—1),
dHdlti Il
можно написать смешанный функциональный определитель функции V
a2 W
в виде
V =
1
дН
дрп
V'
дН d*W дН d*W
Oq1 BE d*W
dq% дЕ
дН dm
дРп dqn дщ dpndqndKi
dpndqndE
1J Частный случай, когда H не зависит от всех р, не представляет инте-
реса, так как в этом предположении каноническая система (5) непосредственно интегрируется, поскольку из второй группы п уравнений следует qh = const, а первая дает р% = const, так что р будут линейными функциями с постоянными (произвольными) коэффициентами при t.
304
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
прибавляя к элементам последней строки соответствующие элементы из первых п—1 строк, умноженные соответственно на дН/дрг, ... дН1дрп_1г получим
П
дН d*W /. _1 о и он d*W
ЬдрьдЯьд*, Ij, ?дръддндЕ.
или на основании уравнений (71')
Й = 1 * 1 Й = 1 "
Далее, уравнение (72'), так как оно тождественно удовлетворяется по отношению к аргументам те, ? и потому может быть продифференцировано по каждому из них, показывает, что первые п — 1 элементов этой строки исчезают, а последний- равен 1. Поэтому определитель V можно написать в виде
? = —— V' v дН v >
дрп
и иско.мое условие приводится к неравенству
Уф 0.
В этом предположении общее решение канонической системы, как и в общем случае, определяется уравнениями (71), (74); полезно переписать эти уравнения, подставляя в них W вместо V и E вместо те„.
Что касается уравнений (71), то в них остается только подставить вместо V' его выражение (78), вследствие чего снова найдем написанные выше уравнения (71'); первые п — 1 из уравнений (74) дадут аналогично
= Щ (/= 1, 2, ...,(« 1), (74а)
а последнее, если обозначить в нем через —10 произвольную постоянную v.n, даст
= (746)
Как и в общем случае, уравнения (74а), (746), конечно, будут разрешимы относительно q (в функциях от і и от те, Е, х, /0); но здесь мы можем добавить, что при наличии t только в уравнениях (746) п — 1 уравнений (74а), рассматриваемые отдельно, определят в изображающем пространстве лагранжевых координат qu q2, • ¦ ¦, qn траектории системы. Так как они тождественно удовлетворяют уравнению (72'), не зависящему от t, то мы видим, что E есть постоянная
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНА'— ЯКОЁИ
305
величина, которая для любого решения равна значению H вдоль соответствующей траектории; поэтому в динамических случаях постоянная E истолковывается как полная энергия.
39. Прямая проверка предыдущих результатов. Результаты, относящиеся к характеристической функции Н, не зависящей от t, были выведены в предыдущем пункте как следствия из результатов, полученных в п. 35 при более общем предроложении, что функция H зависит явно от t\ мы пришли к правилу для определения общего решения канонической системы, вводя только полный интеграл W (с гессианом, не равным нулю) уравнения H==E, в которое t не входит. Представляет интерес найти снова эти результаты прямым путем, аналогичным тому, который был использован в п. 35 для общего случая, т. е. обращаясь к каноническому преобразованию, которое в этом случае не будет зависеть от t и потому будет вполне каноническим.
Для этой цели возьмем снова уравнение с частными производными
где в H вместо ph подставлены д Wjdqh, а через W обозначен полный интеграл, зависящий, помимо q, от произвольных постоянных тс, таких, что его функциональный определитель V1 (по q и те) rie обращается тождественно в нуль в рассматриваемой области. После подстановки в уравнения (72") производных dWjdqh постоянная, стоящая в правой части, будет равна определенной функции от произвольных постоянных те, которую мы обозначим через Е.
