Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь вспомним, что уравнения (76') при заданных значениях t0 и t определяют между р°, q° и р, g каноническое преобразование. Это значит, как это напоминалось также и в конце предыдущего пункта, что два пфаффиана
П П
S Ph^ql0 2 Phdq0h,
Л=1 h=l
вычисленные для бесконечно малых приращений координат (начальных и конечных), которые позволяют перейти от любого движения NI к какому-нибудь движению, варьированному по отношению к нему,
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
301
различаются между собой в силу уравнений (76') только на полный дифференциал. Отсюда следует, что соответствующие билинейные коварианты (п. 9 и гл. V, п. 57), вычисленные для двух независимых систем бесконечно малых приращений, позволяющих перейти от движения M к двум каким угодно варьированным движениям, в силу уравнений (76') будут тождественны между собой; поэтому, вводя вариации 8' и V', определяющие переход от M к двум варьированным движениям Mr и М", мы получим тождество
2 (Wqb-W'qn)= 2 $"plb’ql-b'plb"ql). (77)
h=l ft =I
Это и есть соотношение взаимности, полученное Гельмгольцем*) и выведенное здесь при более общих предположениях. Ho чтобы извлечь из него какие-нибудь определенные и наглядные заключения, необходимо выбрать соответствующим образом варьированные движения M' и М".
Предположим, например, что движение M' определено по отношению к движению M путем приравнивания нулю всех начальных приращений Ь'р°, S'?0, кроме одного; пусть таким приращением будет b'ql. Тем самым из уравнений (76') однозначно определятся все конечные приращения Vp, Vq. Для движения М", наоборот, положим равными нулю все конечные приращения V'p, V'q, за исключением, приращения V'pf, и в этом случае из уравнений (76') определятся все Ь"р°, SV- При указанных здесь предположениях тождество (77) примет вид
VrPjVqj = ^Vql откуда, в частности, следует, что если два произвольных приращения Vq0it 8"pjt определяющих два варьированных движения M', М", берутся равными, то такими же будут и определяемые ими вариации Vqj, 8"р\. Таким образом, если два варьированных движения получаются из одного и того же движения, одно исключительно путем варьирования начального значения одной координаты, другое исключительно путем варьирования конечного значения одного количества движения, и если обе эти вариации равны между собой, то будут также равны и определяемые ими вариации, соответственно конечная и начальная, координаты, сопряженной с варьированным количеством движения, и количества движения, сопряженного с варьированной координатой.
Таким образом мы имеем одну из так называемых теорем взаимности Гельмгольца; ясно, что к другим аналогичным теоремам
*) Это соотношение значительно раньше использовано Остроградским для вывода всех теорем механики. Cm. Жуковский Н. E., Ученые труды М. В. Остроградского по механике, Полное собрание сочинений, т. IX, 1937. {Прим. ред.)
302
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(с возможным изменением знака) мы придем, предполагая при переходе от M к M' и М" варьирование или двух координат, или двух количеств движения вместо одной координаты и одного количества движения.
Гельмгольц указал такие физически интересные задачи, в которых эти теоремы находят применение, и показал, что вариации, о которых мы говорили выше чисто теоретически, могут быть действительно осуществлены посредством малых позиционных возмущений, если речь идет о координатах, или посредством малых импульсов, если речь идет о количествах движения.
37. Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат q в функциях от і и постоянных интегрирования.
Следует отметить, что для этой цели достаточно той ько п уравнений (74) и нет нужды присоединять к ним уравнения (71), характеризующие только закон изменения с временем количеств движения, имеющих вспомогательный характер в первоначальной постановке задачи.
С этим согласуется положение, заключающееся в том, что, найдя полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, соответствующий динамической задаче (консервативной), можно найти общее решение уравнений движения Лагранжа из равенств
= щ (/’=!. 2, ..., п). (74)
38. СлуЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, HE ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ВРЕМЕНИ.
При этом предположении для уравнения Гамильтона—Якоби можно искать полный интеграл в виде
V =— Et-\- W, (78)
где E есть постоянная, которую мы будем выбирать надлежащим образом, и W — неизвестная функция, зависящая только от q и п постоянных Tt1, Tt2, . .., теп и не зависящая от t.
Уравнение (72) принимает вид
H = E (720
в том предположении, конечно, что в H вместо р подставлены выражения (71), которые в данном случае имеют вид
Ph==ddft (А = 1’ 2.................И): (71,)
условие того, чтобы функция была полным интегралом (V ф 0), выразится в том, что смешанный функциональный определитель V1 от
