Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 122

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 230 >> Следующая


n

L ft—I
296

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

линия L будет получаться из вполне определенной линии L0, геометрического места начальных значений р0> q0, которая тоже будет необходимо замкнутой и поэтому доступной для параметрического представления

Pft=PjUa), ?ft =1^ftO) (A= I, 2,.. .,я),

где, если <3 обозначает длину дуги, функции в правых частях будут периодическими с периодом, равным длине s всей линии L0.

Параметрические уравнения субстанциальной линии L будут получены в функциях от t и параметра а, если мы в равенства (66') вместо P0t q° подставим ,только что указанные их выражения, а интеграл J, который надо распространить на эту линию, по выполнении выкладок представится как вполне определенная функция времени. Таким образом, для вычисления dJ/dt достаточно взять производную под знаком интеграла, принимая во внимание, что так как дифференциалы от q относятся к параметру а, не зависящему от t, то производная по t от любого dq будет тождественна с соответствующим dq. Таким образом, получим

П

Ж = S S (Phdqh + Ph dqh)’

L ft=I

или, применяя интегрирование по частям и замечая, что вслЬдствие замкнутости линии интегрирования проинтегрированная часть обращается в нуль,

П

Jt *= / S dqb~^dPh)',

L ft=1

теперь достаточно принять во внимание, что р, q удовлетворяют канонической системе (5), чтобы убедиться, что выражение под знаком интеграла тождественно с полным дифференциалом от —H по р, q, т. е. вычисленным в предположении постоянства t. Таким образом, сохраняя все время предположение о замкнутости линии интегрирования, заключаем

§ 6. Метод интегрирования Гамильтона—Якоби

35. Общий случай. Выяснив в предыдущих параграфах 3—5 основные понятия об интеграле или инварианте, об инвариантном соотношении и инвариантной системе (соотношений) и об интегральном инварианте, рассмотрим теперь, хотя бы в краткой форме, задачу действительного интегрирования (общего или частного) канонических систем; начнем с классического метода Гамильтона — Якоби, который
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНА-----ЯКОБИ

297

еще и сегодня дает все, что является наиболее общим в этом вопросе. Этот метод приводит интегрирование какой угодно канонической системы порядка 2я к определению так называемого полного интеграла уравнения с частными производными первого порядка (общего вида) с я -f-1 независимыми переменными.

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона — Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системьц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу: привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы.

Мы, однако, не будем останавливаться здесь на этих, хотя и важных, вопросах анализа; ограничимся лишь установлением прямого предложения.

Итак, пусть дана каноническая система

где р в функции H рассматриваются как символы частных производных некоторой неизвестной функции V от q и t, т. е.

рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка (Гамильтона — Якоби) относительно неизвестной функции V

Как известно, полным интегралом уравнения (72) называется всякая функция V от q, t и от я произвольных постоянных (h— = 1,2,... , п), которая обладает следующими двумя свойствами:

а) содержит п постоянных тс существенным образом; этим мы хотим сказать, что не будет тождественно равен нулю смешанный функциональный определитель

(*=1,2,...,»), (5)

(72)

dW
298

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

б) тождественно удовлетворяет уравнению (72) относительно q, t, it, т. е. при всяком возможном выборе значений этих переменных внутри некоторой области.

Мы утверждаем, что знание одного такого полного интеграла V позволяет построить в конечной форме общее решение данной канонической системы (5): если мы введем п новых аргументов -/.'посредством равенств

и будем рассматривать равенства (71), (74) как уравнения для определения 2п переменных р, q через t и it, х (что, конечно, можно сделать в силу предположения V^O, ср. п. 11), то 2я функций

определенных таким образом, дадут общее решение канонической системы (5), если только it, х будут считаться в нем произвольными постоянными.

Для доказательства этого достаточно вспомнить заключения п. 11, из которых следует, что равенства (75), если их рассматривать как формулы преобразования, зависящие от t, переменных р, q в переменные it, [х, определят каноническое преобразование и что характеристическая функция преобразованной канонической системы уравнений (5) определится выражением
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed