Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 121

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 230 >> Следующая


П П
294

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

знаком интегрального инварианта порядка, равного порядку системы, является якобиевым множителем и обратно.

В виде непосредственного следствия получим, что для системы (36), для которой имеем

дхt и’

или, как обычно говорят, для системы (36) с нулевой дивергенцией уравнение (70) множителя удовлетворяется значением (i = const, откуда вытекает инвариантность интеграла

jdS,

S

т. е. инвариантность объема произвольной области 5. Так, например, в случае обыкновенного пространства (и = 3), если рассматриваются внутри области правильности системы все те точки, которые в момент t0 заключены в некоторой области S0 с объемом V0, то они во всякий другой момент t будут заполнять некоторую область S, которая, вообще говоря, будет иметь другую форму, но сохранит неизменным объем V0 (движение несжимаемой жидкости).

33. Замечание Лиувилля. Предыдущее следствие находит интересное применение в случае канонической системы (5). Мы имеем здесь систему порядка 2п, в которой неизвестные функции представляются двумя рядами сопряженных величин ph, qh, а соответствующие X определяются выражениями —dHjdqh, дН/дрп, так что дивергенция при любом H обращается в нуль. Поэтому при любом движении, определяемом канонической системой, протяженность или объем в фазовом пространстве р, q будут инвариантными.

Это свойство канонической системы, замеченное Лиувиллем2), имеет основное значение в статистической механике и в ее при-

1J Анри Пуанкаре родился в Нанси в 1854 г., умер в Париже в 1912 г.

Ограничиваясь здесь механикой (в ее традиционных пределах), отметим, что его Methodes nouvelles de la mecanique c61este (Париж, т. I (1892), т. II (1893), т. III (1899)) и исследования о фигурах равновесия жидкой вращающейся массы (Acta Math., т. VII, 1885, и Legons sur Ies figures d’equilibre.. Париж, 1902) открыли иовые горизонты в астрономии и космогонии, позволяя пользоваться более высокими методами современного анализа.

А. Пуанкаре был профессором в Парижском университете, в Политехнической школе и др. и состоял членом Парижской академии наук, а также членом многих других академий.

2) Жозеф Лиувилль родился близ Кале в 1809 г., умер в Париже в 1882 г., был профессором в Политехнической школе, в College de France, в Сорбонне и непременным секретарем Академии наук в Париже. Сильный аналист, он известен, помимо замечательных результатов, достигнутых им в аналитической механике, еще и своими исследованиями по арифметике и алгебре, а также благодаря теореме о конформных преобразованиях пространств с п>3 измерениями. В 1836 г. основал „Journal de mathematiques pares et аррIiquees' и руководил им до 1874 г.
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

295

ложениях к кинетической теории газов, к термодинамике и т. д. 1J. Оно имеет Особенное значение еще и потому, что, как мы видели в п. 16, объем в фазовом пространстве выражает в некотором роде внутренние свойства канонических переменных, так как он остается неизменным по отношению ко всякому вполне каноническому преобразованию.

34. Линейные интегральные инварианты. Пуанкаре2) не ограничился введением интегральных инвариантов типа (67), область интегрирования которых имеет размерность, равную порядку системы; он показал, что полезно ввести в рассмотрение более общие инварианты, определяемые интегралами, распространенными на многообразия с каким угодно числом измерений, меньшим порядка^ системы (линейные, поверхностные и другие интегралы).

Чтобы показать особенно простой пример таких инвариантов, остановимся на случае (в некотором смысле противоположном рассмотренному в п. 32), в котором многообразие интегрирования имеет наименьшее число измерений, т. е. сводится к линии; точнее, обращаясь исключительно к каноническим системам, докажем, что для всякой такой системы будет инвариантом интеграл

распространенный на замкнутую линию L фазового пространства и, конечно, субстанциальный в смысле, разъясненном в п. 31. Обычно такой интегральный инвариант называют относительным, подчеркивая этим названием то обстоятельство, что его характер инвариантности, по существу, подчинен условию, что линия интегрирования замкнута.

Инвариантность интеграла J устанавливается аналогично тому, как это делалось в случае п. 32, проверкой того, что полная производная dJfdt будет равна нулю всякий раз, как линия L будет замкнутой. Для этой цели примем прежде всего во внимание, согласно тому, что было отмечено в п. 31, что общее решение канонической системы, которое здесь соответствует уравнениям (66),

Ph = Ph(*lP0 k0). Qh = QhitIP0IQ0) (А = 1, 2, ..., я) (66'),

определяет одно-однозначное соответствие между координатами р, q фазового пространства, относящимися к произвольному моменту t, и их начальными значениями р°, д°. При такой одно-однозначности

!) Cm. J. Н. Jeans, The dynamicat Theory of gases, 2-ое изд.,Cambridge Univ. Press, 1921.

*) Poincarё, Les methodes nouvelles de, Ia MScanique celeste, Paris, 1899; т. Ill, гл* XXII — XXV. К a p т а н, Интегральные инварианты, 1940.
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed