Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 120

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 230 >> Следующая


Многообразие V из Sn, которое рассматривается в этом смысле зависящим от t, обыкновенно называется субстанциальным многообразием, так как, если представим } себе точки Sn материализованными, оно будет во всякий момент состоять из одних и тех же частиц, т. е. из частиц, какие вначале образовывали V0.

Xi = XiH|л°) {I = 1, 2, ..., я), (66)

где функции Xi в заданный момент t0 принимают любые я значений Xi.

ЛОЖЄНИЯ P0 (Xi, xl, . . ., Xn)-

(i, j = 1, 2, ..., я).
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

291

32. Интегральные инварианты порядка, равного порядку системы. Обратимся к частному случаю, когда начальное многообразие образует некоторую область (я-мерную) S0 пространства Sn и пусть 5 есть соответствующая область в любой момент U

Если JJU- обозначает какую-нибудь правильную функцию от положения и, возможно, от времени, то интеграл

/=J^dS (67)

S

имеет вполне определенный смысл в любой момент времени и потому представляет собой вполне определенную функцию от t, принимающую в начальный момент t0 значение

Z0 = J" Ji0 dS0.

S0

В качестве предварительной формулы найдем производную по t от интеграла /, принимая при этом во внимание уравнения (36).

Если бы при выполнении этого дифференцирования мы исходили непосредственно из выражения (67) интеграла /, то надо было бы принять во внимание, что интегрирование должно быть распространено на область, изменяющуюся вместе с t; поэтому для упрощения вычислений удобно привести область интегрирования к такой области, которая не зависит от времени, выполняя предварительно замену переменных, определяемую равенствами (66).

В силу этого, согласно известному правилу преобразования интегралов по области, получим

/=JV$>dS°, (67х)

S0

где вместо 13) I можно писать прямо 3), потому что этот определитель, как отмечалось в предыдущем пункте, остается положительным во всем рассматриваемом промежутке изменения t.

Так как теперь область интегрирования не зависит от t, то можно применить правило дифференцирования под знаком интеграла, и мы получим

а-/я0л»<в°.

S0

где, конечно, полная производная от должна быть взята, принимая во внимание, что Xi зависят от / в силу уравнений (36). Ho прежде чем выполнять это дифференцирование, удобно снова перевести последний интеграл из области S0 в область S, соответствующую любому моменту t, выполняя преобразование переменных,

19*
292

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

обратное преобразованию (66). Так как определитель этогр преобразования есть 5Е)-1 и потому тоже положителен, то искомую производную можно будет написать в виде

й-’/а-’яй*®)*; <68>

S

теперь все сведется к нахождению полной производной от определителя 25.

Если, положив

(X1X2 ...Xn ...X0n

примем во внимание равенства (36), то по известному правилу дифференцирования определителей будем иметь

п

і = I

где

с-. _і * xi_1XixiAr j ... л:„\ , 0 \

Vjc0 JC0 JC0Je0 jt° ) ’ ‘ *’

\Х1 • • • і — \ і i-\-1 • • • хп/

Ho так как

П

и/-і,*...,.*), т

OXj ^oxll OXj

то достаточно разложить SV в сумму п определителей, соответственно п слагаемым каждого члена (69) из г-ой строки, чтобы получить

Т) 1 " i_1 * (+| " nV Л— 1 9

ltdxk\^ X0. ...JfiJ 0-1, 2, ...,я),

JlT=Si * г — 1 п

а так как определитель, который появляется здесь в виде множителя при дХ{/дхк, равен нулю при k ф. і и совпадает с 25 при k = г, то предыдущая формула приводится к следующей:

®,_®g (i_l, 2,...,«).

Если обратимся теперь к равенству (68), то найдем

T1 = S'^ w
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

293

где для краткости положено

п п

І = 1 і-= I

Заметив это, мы назовем интеграл I типа (67) интегральным инвариантом относительно системы дифференциальных уравнений (36), если при изменении t он сохраняет постоянное значение, какова бы ни была область интегрирования в начальный момент t0 и, следовательно, в любой момент t.

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, очевидно, чтобы в любой момент было

а при заданной произвольности S легко убедиться на основании равенства (68'), что это условие будет выполнено только тогда, когда во всякий момент времени и во всякой точке P области правильности, т. е. при всяком выборе переменных X И t, будем иметь

Действительно, если v = 0, то в силу равенства (68') непосредственно имеем dljdt= 0, каково бы ни было 5, и, обратно, если эта полная производная тождественно равна нулю, то v, как непрерывная функция, не может быть отличной от нуля в какой-нибудь точке P ив какой-нибудь момент t, без того чтобы оставаться такой же и с тем же знаком в некоторой окрестности S* точки P и в некотором промежутке времени, содержащем t\ но в таком случае, вопреки предположению, был бы отличен от нуля также и интеграл

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций JA положения и времени, удовлетворяющих равенству (70). Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению ft этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)^ мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре1), замечанием, что функция под
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed