Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
8Я=0, (60)
мы получим новую инвариантную систему для канонической системы (5). Ранее введенные частные предположения о системе дифференциальных уравнений и об инвариантных соотношениях (каноническая форма и независимость H от t для первых и инволюционный характер для вторых) позволяют здесь добавить, что из условия (60) вытекает в этом случае не более чем 2 (я — т) различных соотношений между р, q, тогда как в общем случае оно заключало бы в себе 2 (я — т.) таких соотношений.
Доказательство этого утверждения получится особенно просто, если допустить несущественное ограничение, что уравнения (59), по предположению независимые, разрешимы относительно от из величин р, например относительно ри р2, рт.
Пусть после выполнения решения уравнения принимают вид
Pa ?« (Ая+1> Ртл-Ч.1 •••> Pni Ч\> •••> Чп) — ® (®97)
(а = 1, 2, ..., те);
288
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
они и в этой форме будут находиться в инволюции (предыдущий пункт), а если для каких угодно двух функций и, v положим
то условия (ря — да,,, Рр — фр) = 0, выражающие инволюцию, принимают вид
где знак = показывает, что речь идет о тождестве. Действительно, здесь не нужно принимать во внимание равенства (59'), так как левые части равенств (61) не зависят от ра (а = 1, 2, ..т).
Заметив это, выразим,- что система (59') инвариантна относительно системы уравнений (5). Если возьмем полные производные от уравнений (59') по t и примем во внимание уравнения (5), то придем к условиям
которые должны удовлетворяться в силу равенств (61).
Если также и здесь через H обозначить функцию Н, приведенную посредством равенств (59'), то производные от функции Н(рт+и •••> Рп\ч) будут связаны с производными от первоначальной функции H равенствами
п—т
ди dv ди dv
дРт+j ^Qm+j dqm+j dpm+j
in
dH
dqa
(62)
дН dH
Au dp ^ dpm+j ’
dH d<fp
дРт+j dpm*-j
^ Y dH db
(/= I, 2, ..., я —m); (63)
dH dH
дЧт+j dqm+j
(a= I, 2, ..., m). (64)
Теперь равенства (63) непосредственно дают
т
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
289
достаточно сложить по частям эти соотношения с соответствующими соотношениями (64), чтобы получить равенства
ЭЯ — , дН ^dHrdva , л
а?+{л. ^ = ^+ Iя’ + {?а’
P=I
(а = 1, 2, ..т.),
сводящиеся, если принять во внимание соотношения (61), (62), к следующим:
Щ-а+\н> ?«}==0 (а = 1,2 ,...,от). (65)
Эти последние соотношения, которые, будучи не зависимыми от ра (сс = 1, 2, ..., /и), тождественно удовлетворяются по отношению ко всем аргументам, входящим в них, позволяют доказать наше утверждение.
Действительно, условие (60), имеющее место для всех виртуальных перемещений, удовлетворяющих соотношениям (59'), равносильно уравнению 8H = 0, сохраняющему свое значение при произвольных бесконечно малых приращениях его аргументов, т. е. в явной форме равносильно уравнениям
дН л дії л * • і л \
= Ш7Г° °°'-2.............п-т)'
dJl = Q (а = 1, 2, . ... от),
а эти последние от уравнений в силу равенств (65) являются следствиями первых 2 (я — от) уравнений.
§ 5. Интегральные инварианты
31. Субстанциальные многообразия. Bo многих исследованиях, в частности в небесной механике, наряду с рассмотрением интегралов и инвариантных соотношений,. оказывается полезным исследование других образований инвариантного типа относительно любой системы дифференциальных уравнений первого порядка (36). Речь идет о так называемых интегральных инвариантах, о которых здесь уместно дать некоторое понятие.
Приведем сначала некоторые вспомогательные соображения. Для обычной системы дифференциальных уравнений я-го порядка
^1 = Х{(х\ О (/=1,2, ...,я), (36)
19 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальдн
290
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
в которых функции X удовлетворяют, по крайней мере в некоторой области, обычным условиям правильности, рассмотрим решение
Обращаясь к обычному кинематическому истолкованию в я-мерном пространстве Sn переменных х, мы можем сказать, что решения (66) определяют движение точки Р, которая, подчиняясь закону скорости, выраженному уравнениями (36), в момент t0 выходит из по-
Предположим, что это начальное положение движущейся точки выбирается в некоторой я-мерной области, в которой осуществляются условия, требуемые теоремой существования и единственности интегралов системы (36); предположим, кроме того, что промежуток изменения t выбран так, что указанные только что условия продолжают выполняться.
Рассматривая функциональный определитель от х{(і\х0) по X0
примем во внимание, что результат дифференцирования по любому л? и подстановки t = t0 не зависит от порядка выполнения этих операций, т. е.,
Отсюда можно заключить, что определитель ф в начальный момент to принимает значение 1 и потому остается отличным от нуля и положительным во всем промежутке времени, начиная с момента Если условимся ограничить изменение, t этим промежутком, то в нем будет обеспечена непрерывность и одно-однозначность соответствия, которое уравнения (66) определяют между начальными положениями P0 движущейся точки и положениями, достигаемыми ею в любой момент t; отсюда почти очевидно (можно было бы доказать это и вполне строго), что в пределах указанного выше изменения t всякому многообразию F0 с каким угодно числом измерений (линия, поверхность и др.) соответствует на основании уравнений (66) в любой момент времени вполне определенное многообразие V с тем же числом измерений — геометрическое место соответствующих положений P движущейся точки, и обратно.
