Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, рассмотрим я уравнений, получающихся из символического уравнения SZ0 = О,
Ц = 0 ((=1,2,...,»)
и обозначим для простоты левые части через Zo »5 тогда все сведется к проверке, что полные производные
rf/o І і
dt
(і= I, 2, .я),
вычисленные на основании уравнений (36'), обращаются в нуль в силу уравнений (50) и соотношений Zo і і = 0.
Эти полные производные, если принять во внимание только последние я — т уравнений (36'), можно написать в виде
%=Йй-‘т+{т+ S %7S-} C'-=1-2.....................">;
u=l і> = »» + 1
тогда выражения в фигурных скобках в правой части, если положим Z1 =/2 = •••—/« = 0, сведутся к полным производным df01 ijdt,
§ 4. ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
285
вычисленным на основании системы (58); поэтому они обратятся в нуль вместе с /о, /о 11, ..., /о і« в силу только что доказанной инвариантности функций /0 = О, 8/0 = 0 относительно этой системы. Далее, что касается суммы
у dJojidZu A dfu dt ’
U = I
то она будет тоже равна нулю, как следствие уравнений (50), так как в силу уравнений (51) исчезают каждая из dfjdt в отдельности.
Доказав таким образом теорему, мы выведем из нее, как и в предыдущем пункте, следствие, что если между соотношениями
инвариантной системы (50) имеется известное число k действительных интегралов (частных), то в силу этого система, составленная из остальных т — A-J-I соотношений (50) и условий стационарности этих k интегралов, будет инвариантной.
29. Лемма о соотношениях, выражающих инволюцию. Теорема предыдущего пункта приобретает особый интерес, если ее применить к канонической системе; для этого необходимо обратить внимание на одно вспомогательное замечание.
Рассмотрим систему из от<я соотношений
/Др|9) = 0 (г = 1, 2, ..., т) (59)
между двумя рядами (2л) переменных рад. Пусть эти соотношения находятся в инволюции, под чем подразумевается, что для них имеют место равенства
(fry fa) = 0 (r, s=l, 2, ..., т),
и предположим, что соотношения (59) разрешимы относительно т из переменных р, например относительно P1, р2, ..., рт. Как известно, это равносильно предположению, что якобиан D от /1; /а, ..., /и по ри р2, ..., рт не равен тождественно нулю.
Мы хотим доказать, что если соотношения (59), действительно разрешенные относительно pv р2, . .., рт, принимают вид
Ра = <?ЛРт+и •••> Pn, Яі, 4%, д») (<* = 1, 2, ..., т), (59')
то из уравнений (fr> fs) = 0 будут следовать уравнения
(Pu — <Р«. Pp-<Рр) = 0 (а, р = 1, 2, ..., т);
другими словами, система, после того как она разрешена, продолжает оставаться в инволюции.
-Действительно, заметим прежде всего, что если через и обозначить какую-нибудь одну из переменных р, д, которая не была бы
286
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
одною из переменных ри р2, ..., Pm, то из уравнений (59) будут следовать уравнения
т
1+21:?-0 ('-1.?-.-."*).
Ot = I
которые могут быть написаны в виде
S т
dfr V dfr д (P* — ?«)
0 = 1
надо заметить, что эти уравнения будут справедливы (они сведутся при этом к обыкновенным тождествам) даже тогда, когда и обозначает одну из первых т переменных р.
Тогда непосредственно будем иметь
dfr d/, _ Y dfr dfad (Pa-^a) a (/>g— yg)
dqh dph 2d дра др« dqh dph S >>•••> m>
dp p
3=1
0=1 A=I, 2, ..., л);
вычитая почленно аналогичное соотношение, получающееся путем перестановки г и s, а также а и [5, и суммируя по индексу А, получим тождества
т
(Zr. /«) = 2ft—ъ) (г' Ss=1> 2> • • •• т)•
дрл др я а = 1 *
S=I
Поэтому из соотношений (59) или из эквивалентных им соотношений (59') будут следовать тождества вида
т т
Si;SI?(г>s=tl>2- •••• w>>
а = 1 'р=1 ^
которые, если для краткости положить
Ш
г“8)== p?~~vd (а’ Sa=1’ 2’
примут вид
т
а =1
Если из этих от2 уравнений, вытекающих из соотношений (59), рассматривать только те, в которых s имеет постоянное значение, то
§ 4. ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
287
получатся от однородных относительно (а = 1, 2, от) соотно-
шений, определитель которых D, по предположению, отличен от нуля. Мы заключаем, таким образом, что необходимо должно быть
т
*?)= ?«» JoP-^)=0 с®»s=l’ 2> •••> тУ>
p=i р
достаточно провести аналогичное рассуждение относительно т. уравнений, получающихся, если фиксировать a, a s изменять от 1 до от, чтобы заключить, что в силу соотношений (59) и для всевозможных пар индексов а, [3 от 1 до от будет
(/>« — ?« Pp- Tp) = 0.
30. Применение к каноническим системам. Принимая во внимание общие соображения предыдущих пунктов, обратимся к канонической системе (5) и будем предполагать ,при этом, что ее характеристическая функция H не зависит от времени t\ предположим также, что нам известна какая-нибудь инвариантная система, тоже не зависящая от t,
Л(Рк)==0 (/¦=!, 2, ..., т), (59)
состоящая из от соотношений, находящихся между собой в инволюции и отличных от H (р I q) = const.
Так как Н(р \ q) представляет для системы (5) первый интеграл (п. 4), то на основании следствия из теоремы п. 28, присоёдиняя к соотношениям (59) условия стационарности функции Н, выводимые из соотношения
