Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
8. Иллюстрировать геометрически количественную меру устойчивости (fFn — T)/Fn, указанную в п. 17. Достаточно для этого ввести угол ф, который активная сила F составляет с нормалью п, и заметить, что предыдущее отношение принимает тогда чисто геометрический вид tg tP — tg ф. Глава X ГЕОМЕТРИЯ МАСС
1. В главах VII—IX мы занимались исключительно материальной точкой. Чтобы распространить полученные результаты на какие угодно материальные тела, прежде всего необходимо определить также и для этих тел понятие о массе. С этим понятием в качестве необходимой предпосылки для будущих механических выводов непосредственно связывается ряд теорем, независимых от понятий времени и силы, которые обычно объединяют под названием геометрия масс.
§ 1. Масса тела
2. Масса материальной точки была определена как отношение р/д веса точки к ускорению силы тяжести (гл. VII, п. 14). Это отношение имеет определенный физический смысл также и для какого угодно тела, лишь бы размеры тела были таковы, чтобы внутри занимаемой им области ускорение д оставалось приблизительно постоянным. Как и в случае материальной точки, это отношение веса тела к ускорению силы тяжести будет приниматься за существенную характеристику тела, неизменную при всяком его движении и всякой деформации.
Оно является практическим определением массы тела.
3. Из опыта мы убеждаемся, что вес какого-нибудь тела С, разделенного каким угодно способом на части, всегда равен сумме весов отдельных частей. Таким образом, из определения предыдущего пункта следует, что масса обладает аддитивным свойством, в силу которого масса какого-нибудь тела равна сумме масс его частей, каким бы способом ни представлять себе тело разбитым на части.
Поэтому, в частности, если мы представим себе тело С разделенным на части, которые можно уподобить материальным точкам, то сумма масс всех этих точек не будет зависеть от способа разделения.
Обратно, если на основании только что указанных опытных данных мы допустим в виде постулата, что, как бы мы ни разбивали тело на отдельные материальные точки, для суммы масс этих точек всегда получится одно и то же число, то можно будет 24
гл. x. геометрия масо
определить массу тела как сумму масс отдельных материальных точек, на которые его можно представить себе разделенным по какому-нибудь закону.
Это новое определение, так как оно основывается на понятии массы материальной точки, сообщает понятию массы тела характер универсальности (или независимости от каких-либо соображений, относящихся к земному полю тяготения), который мы имели в случае одной материальной точки (гл. VII, п. 16).
4. Для того чтобы выразить аналитически закон распределения массы внутри тела, необходимо ввести понятие о плотности.
Тела физически однородные (вода, литое железо и т. п.) характеризуются тем свойством, что веса (измеренные в одном и том же месте) их частей пропорциональны соответствующим объемам. Следовательно, мы имеем пропорциональность (независимо от того, в каком месте на Земле мы находимся) между массами различных точек однородного тела и соответствующими объемами.
Поэтому, если мы обозначим через S объем любого однородного тела, через т его массу и через AS и Am объем и массу какой-нибудь его части, то будем иметь
это отношение численно равно массе единицы объема рассматриваемого тела. Оно называется плотностью тела С. Обозначая плотность через у., будем иметь
это равенство справедливо, каков бы ни был объем рассматриваемой части тела С. Поэтому, предположив, что рассматриваемая часть тела стягивается к точке, так что ее объем и масса стремятся к нулю, в пределе будем иметь
Пользуясь языком анализа бесконечно малых, мы можем сказать, что у. есть отношение массы бесконечно малой частицы нашего тела к соответствующему объему. Из соотношения (1) имёем
так что массу т тела С можно представить в виде интеграла
§ 2. Плотность
Д т т AS = ~S~'
dm, = )3. dS,
(2)
s § 2. плотность
25
распространенного на всю область S пространства, занятую телом С. На основании равенства (2) этот интеграл не отличается от интеграла
JpdS
S
или от интеграла
U, f OLS = ^S,
что согласуется с данным выше определением величины [x([x = m/S).
Эти естественные замечания подсказывают нам обобщение, которое в то же время соответствует нашей физической интуиции и духу анализа бесконечно малых. Мы можем представить себе, что тело С состоит не из однородной материи, а из смеси различных веществ; идеализируя, мы можем предположить, что материальная структура тела С изменяется от точки к точке непрерывно. Тогда отношение
? (»»
массы некоторой частицы тела С к соответствующему объему (ісредняя плотность тела С в объеме ДS) будет изменяться при изменении частицы. Предположим, что когда мы заставляем объем AS стремиться к нулю, стягивая его к одной из его точек Р, отношение (3) стремится к определенному конечному пределу
Ii= Wm (4)
Этот предел называется плотностью тела в точке Р; мы будем предполагать, что плотность и. представляет собой конечную и, вообще говоря, непрерывную '), а поэтому, в частности, интегрируемую функцию от точек области S, занятой телом.
