Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Во втором случае аналогичная работа будет отрицательной и равновесие, следовательно, будет неустойчивым.
Если поверхность опоры о представляет собой горизонтальную плоскость, то работа силы тяжести будет равна нулю на всяком перемещении М'М, и потому мы будем иметь безразличное равновесие.
б) Материальная точка, притягиваемая к грани куба силой, перпендикулярной к грани и возрастающей вместе с расстоянием.
упомянутой касательной плоскости (фнг. 9).
Перемещения, подле-
Фиг. 9.
'а жащие рассмотрению, очевидно, должны быть такими, которые допускаются связью, т. е. та- упражнения
21
Если допустить, что для всякой пары противоположных граней закон притяжения является одним и тем же, то центр куба будет, очевидно, положением равновесия.
Далее легко видеть, что мы имеем здесь дело с устойчивым равновесием. Действительно, рассмотрим любое положение Ж' внутри куба. Так как притяжения возрастают вместе с расстоянием, то между силами, происходящими от любой пары противоположных граней, преобладать будет всегда та, которая относится к более удаленной грани.
Отсюда следует, что когда точка возвращается из Ж' в Ж, она следует в сторону большего притяжения и сумма работ сил притяжения к двум противоположным граням будет положительна. Вследствие этого и полная работа шести сил при переходе из любого положения к положению равновесия будет положительной.
в) Свободная точка, находящаяся под действием каких угодно консервативных сил.
Пусть U(x, у, в) есть соответствующий потенциал, Ж— положение равновесия и M' — какое-нибудь другое близкое к M положение. Обозначим через TJu, TJji' соответствующие значения, принимаемые функцией TJ в точках Ж и Ж'. Для того чтобы равновесие в точке Ж было устойчивым, требуется, чтобы, согласно нашему определению, работа, совершаемая силой при переходе точки из любого положения M' (достаточно близкого к Ж) в Ж, была положительной; требуется, следовательно, чтобы было
Um —иМ'>0
для всякой точки M', принадлежащей к некоторой окрестности точки M (и не совпадающей с Ж).
Это можно выразить так: потенциал U должен иметь в положении M максимум. Легко видеть, что, наоборот, если потенциал TJ имеет в точке Ж максимум, то этому положению соответствует состояние устойчивого равновесия.
Действительно, мы имеем в этом случае состояние равновесия, так как существование максимума, как известно из анализа, предполагает обращение в нуль первых производных dTJ/dx, dUjdy, dUjdz, т. е. проекций силы. Далее, равновесие будет устойчивым в силу неравенства Um—Umi > О, определяющего максимум.
УПРАЖНЕНИЯ^)
1. Принимая для f крайние значения, указанные в п. 2, найти пределы между которыми может изменяться угол трения <р (от 4° до 37° в круглых цифрах).
1) В этих упражнениях для краткости мы употребляем выражение:
»сила, которая может сдвинуть", вместо точного выражения: „сила, которая
может привести точку в условия предельного равновесия". 22
гл. ix. трение и статика. точки
2. Тяжелое тело покоится на шероховатой горизонтальной плоскости. Угол трения равен <р. Доказать, что наименьшая сила, которая может сдвинуть тело, образует угол <р с плоскостью.
8. Тяжелое тело опирается на наклонную плоскость. Какова будет наименьшая сила X1, достаточная для того, чтобы сдвинуть тело вверх, в предположении, что сила действует по линии наибольшего наклона? Наоборот, какова будет наименьшая сила т2, направленная в противоположную сторону, под действием которой тело начнет опускаться?
Во втором случае, конечно, предполагается, что угол трения <р превосходит угол наклона о, так как в противном случае движение точки вниз началось бы без действия какой бы то ни было силы. [T1 =р (fcos а + siu о.), {f OOB a — sin а), где р — вес тела, f — коэффициент трения.]
В дополнение к предыдущему упражнению определить величину и направление наименьшей добавочной силы, которая может сдвинуть тело. [Сила лежит в вертикальной плоскости, содержащей линию наибольшего наклона к горизонту, и направлена перпендикулярно к той образующей конуса трения, которая составляет наименьший угол с вертикалью; величина силы равна р sin (?) — о).]
5. Тяжелое, тело весом р опирается на наклонную плоскость (угол наклона а больше угла трения <р). Показать, что наименьшая горизонтальная сила, под действием которой тело может оставаться в равновесии, равна р sin (а — f).
6. Тяжелый шарик может двигаться внутри трубки, изогнутой по окружности и расположенной в вертикальной плоскости: коэффициент трення шарика о трубку есть f. Какова та часть трубки, внутри которой шарик может оставаться в равновесии?
1J. Тело весом в 120 к» опирается на внутреннюю поверхность полой сферы. Оно находится в равновесии в некотором положении, смещенном на 20° от самой низкой точки (в том смысле, что радиус сферы, проходящий через положение равновесия, составляет с вертикалью угол в 20°). Коэффициент трения f равен 0,56- Вычислить наименьшее усилие т, направленное к самой низкой точке, при помощи которого можно сдвинуть тело (т = 20,43 кг).
