Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 7

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 134 >> Следующая


В случае связи без трения должно быть T = О, т. е. сила должна быть нормальна к кривой.

§ 4. Статическое понятие об устойчивости равновесия

17. Обратимся опять к условиям равновесия точки, опирающейся на шероховатую поверхность:

Fn>0, (1)

TKfFn. (2)

На основании соотношения (2) разность fFn — Т, неотрицательная в статических условиях и равная нулю только в предельном состоянии равновесия, определяет наибольшую величину добавочной касательной силы, которая без нарушения равновесия может быть присоединена к первоначальной силе F. Предположим, что Pra > 0. Отношение

fFn-T Fn '

которое в силу условия (2) никогда не бывает отрицательным,, определяет наибольшее значение добавочной касательной силы, отнесенной к единице нормальной составляющей активной силы, при котором еще возможно равновесие. Оно принимается за меру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия и позволяет,, очевидно, сравнивать случаи равновесия, соответствующие различным значениям Fn и f.

18. Для статических задач, отличных от только что рассмотренной (точка, опирающаяся на шероховатую поверхность), вообще § 4. статическое понятие об устойчивости равновесия

19

говоря, еще не определено аналогичное количественное понятие устойчивости; однако всегда возможна качественная оценка, позволяющая разделять различные состояния равновесия на устойчивые и неустойчивые.

Основываясь на физической интуиции, мы будем называть состояние равновесия материальной точки (или системы материальных точек) устойчивым, если при любом, достаточно малом возмущении равновесия (смещение точки или системы из положения равновесия в какое-нибудь другое, достаточно близкое положение, совместимое со связями) силы, действующие на точку (или систему), стремятся возвратить ее в положение равновесия.

Выясним, какой смысл следует придавать этому стремлению сил возвратить точку (или систему) в положение равновесия. Для этой цели обратимся к понятию о работе и, как это вполне естественно, будем считать, что силы стремятся сообщить данное перемещение или препятствуют этому перемещению, в зависимости от того, будут ли эти силы в своей совокупности силами движущими (положительная работа) или силами сопротивления (отрицательная работа). Таким образом, для того чтобы различить, стремятся или нет некоторые силы сообщить точке (или системе) заданное перемещение, достаточно обратить внимание на знак полной работы, которую совершили бы силы на этом перемещении.

Отсюда вытекает следующее точное определение понятия об устойчивости равновесия (в статическом смысле)').

Пусть P есть материальная точка (или одна из материальных точек, составляющих данную систему) и пусть F—сила, действующая на P в заданном положении равновесия Ж. Рассмотрим какое-нибудь перемещение, совместимое со связями, которое совершает точка P (или система) из положения равновесия M в некоторое близкое положение M'; пусть L есть полная работа сил, действующих на точку P (или на точки системы) при перемещении из M' в М. Если в достаточно малой окрестности положения равновесия работа L на всяком перемещении, совместимом со связями, оказывается положительной, то равновесие называется устойчивым.

Если существует хотя бы одно перемещение, для которого ?<0, то равновесие называется неустойчивым; если же .L = O для любого перемещения, то равновесие называется безразличным. При L^O равновесие часто тоже называют устойчивым, хотя правильнее было бы называть его только не неустойчивым.

Эти определения предполагают, что сила F известна не только для данного положения равновесия М, но также и для всякого

1) В динамике мы увидим, как можно углубить учение об устойчивости равновесия, рассматривая движение, которое вызывают данные активные силы, когда равновесие будет (слегка) нарушено. 20

гл. ix. трение и статика. точки

другого положения M', достаточно близкого к данному и совместимого со связями.

Как действует сила F вне рассматриваемого положения равновесия, можно судить по определению силы, если речь идет о позиционных силах; в других же случаях необходимо предварительно учесть особые обстоятельства, которые могут оказывать влияние на поведение силы.

19, Применим теперь результаты, полученные в предыдущих пунктах, к некоторым конкретным примерам, в которых речь будет итти о позиционных и, в частности, о консервативных силах, т. е. о таких силах, для оценки работы которых при переходе из любого положения M' в положение равновесия M нет "необходимости указывать путь перехода.

а) Тяжелая точка, удерживаемая на гладкой поверхности. В положении равновесия M реакция поверхности о должна быть равна и противоположна весу; следовательно, она направлена по вертикали. В то же время, так как трение исключается, реакция должна быть направлена по нормали к поверхности, т. е. перпендикулярно к касательной плоскости ков М.

Если предположим, что речь идет о выпуклой поверхности, то о в окрестности M будет лежать целиком выше или целиком ниже

кими, в результате которых точка P переходит из положения равновесия M в другое положение M', постоянно оставаясь на поверхности о. Реакция поверхности не будет при этом совершать работы, так как она всегда перпендикулярна к перемещению. Поэтому достаточно рассмотреть только работу силы тяжести. В первом случае оказывается, что всякая точка M' поверхности о, достаточно близкая к М, будет находиться выше М. Отсюда следует, что на всяком перемещении М'М, совместимом со связями, активная сила (вес точки Р) будет совершать существенно положительную работу и потому состояние равновесия будет устойчивым.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed