Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
?ч гр
t g Fn = Jfrf
выполняющееся как по величине, так и по знаку, так как речь идет не о тупом угле. Условие равновесия (2) можно поэтому написать в виде
t SFnKf
или, обозначая через <о угол (меньший тс/4, потому что f < 1), тангенс которого есть f,
FnKt?-
Фиг. 3.
Называя угол <р углом трения, а геометрическое место полупрямых, выходящих из P и образующих угол <р с внутренней нормалью, внутренней полостью конуса трения, заключаем, что для равновесия материальной точки, опирающейся на поверхность, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил не лежала вне внутренней полости конуса трения.
Таким образом, наибольшее отклонение равнодействующей активных сил от внутренней нормали, совместимое с равновесием, определяется углом трения; это наибольшее отклонение определяет предельные состояния равновесия.
Условия равновесия (1) и (2) накладывают ограничения на направление и сторону равнодействующей активных сил F, а не на ее величину. Это, очевидно, может иметь место только в идеальном предположении, что связь обладает абсолютной твердостью и, не разрушаясь, может сопротивляться действию нормальных сил произвольно большой величины. Практически же условия (1) и (2) приложимы только до тех пор, пока величина N нормальной силы 10
гл. ix. трение и статика. точки
не превосходит предельного значения, при котором связь разрушается.
6. Понятие об угле трения оказывается особенно удобным при рассмотрении равновесия тяжелой точки на наклонной плоскости. Обозначая через <х угол наклона плоскости к горизонту (фиг. 4),
мы непосредственно видим, что условие равновесия сводится к следующему: угол наклона а не должен превосходить угла, трения ф.
7. Поверхности вез трения. Коэффициент фиг- 4. трения f, всегда меньший 1, будет тем
меньше, чем более гладкими будут поверхности соприкосновения. Известно (п. 2), что, применяя смазку, можно уменьшить f до нескольких сотых долей единицы. Предельное предположение f = 0 хотя и не может быть осуществлено практик чески, все же заслуживает того, чтобы рассмотреть его отдельно. При этом предположении можно получить (как в статике, так и в динамике, как мы увидим в свое время) некоторые общие, очень простые и убедительные теоретические результаты, которые не слишком сильно расходятся с действительными явлениями. Поэтому, по крайней мере в первом приближении, оно приложимо к этим явлениям, тогда как точный подход к ним был бы очень сложен. Если f — 0, то говорят, что соприкосновение осуществляется без трения или также что поверхность о абсолютно гладкая. Конус трения вырождается в нормаль, и соотношение (2) сводится к равенству
T=- 0. (2')
В этом случае для равновесия требуется, чтобы активная сила F была нормальной; далее, на основании соотношения (1), необходимо (и в то же время достаточно), чтобы эта нормальная сила была обращена внутрь тела, представляющего собой опору для точки Р.
Так, например, для тяжелой точки, опирающейся на абсолютно гладкую поверхность, положениями равновесия будут только те положения, для которых внутренняя нормаль вертикальна и направлена вниз.
8. Реакция и трение. На основании условий (1) и (2) можно определить поведение реакции J?, которую развивает поверхность опоры о в случае равновесия, когда на точку действуют активные силы, имеющие равнодействующую F. Мы знаем, что при равновесии выполняется равенство
JS = O, или M = -F, § і. равновесие точки, опирающейся на поверхность
11
т. е. уравновешиваются отдельно нормальные и касательные составляющие сил 22 и F и, в частности, совпадают соответственно их величины.
Поэтому, принимая во внимание рассуждения предыдущих пунктов и называя внешней полостью конуса трения полость, противоположную относительно вершины внутренней полости, можно утверждать, что реакция R, с которой материальная поверхность о действует на материальную точку Р, находящуюся с ней в соприкосновении, зависит от равнодействующей F активных сил, действующих на точку Р. В случае равновесия реакция R всегда направлена во внешнюю сторону поверхности о и лежит внутри внешней полости конуса трения. Другими словами, ее составляющая по нормали к поверхности о имеет величину N, равную величине нормальной составляюгцей силы F, а составляющая в касательной плоскости к о по величине не может превзойти fN, где f есть коэффициент трения между точкой и поверхностью.
В идеальном случае абсолютно гладкой поверхности касательная составляющая реакции равна нулю, или, другими словами, полная реакция направлена по внешней нормали.
Касательная составляющая реакции JB в случае равновесия называется трением скольжения, или статическим трением (в предельном случае, когда T = fN, также предельной силой трения), или просто трением, есл-и нет основания смешать его с трением качения, о котором мы еще будем говорить (гл. XIII, § 6).
9. Одновременное действие многих односторонних связей. Принципы, установленные в предыдущих пунктах, позволяют исследовать условия равновесия материальной точки Р, которая одновременно соприкасается с двумя или большим числом материальных поверхностей (представим себе, например, шарик, лежащий на полу и прислоненный к одной или двум стенам). Каждой точке соприкосновения соответствует одна реакция: в действительности речь идет о силах, приложенных к различным геометрическим точкам, но так как P рассматривается как материальная точка, эти различные точки приложения можно считать совпадающими.
