Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
т o = fp.
Коэффициент трения всегда меньше 1; для шероховатых известняковых плит он может доходить до 0,75. Для дерева и для наиболее распространенных металлов при такой степени обработки их поверхностей, которая обычно достигается в машинах и приборах, коэффициент трения изменяется от 0,15 до 0,20. Он может уменьшиться даже до 0,07, если позаботиться о том, чтобы не было непосредственного сухого соприкосновения между поверхностями твердых тел. Это достигается применением смазки. Заметим, наконец, что коэффициент трения, как отношение между двумя силами, является отвлеченным числом, т. е. величиной безразмерной.
3. Точка, опирающаяся на плоскость. Из предыдущего пункта следует, что для равновесия материальной точки Р, веса р, опирающейся на горизонтальную плоскость и находящейся под действием горизонтальной силы г, необходимо и достаточно, чтобы г не превосходила предельной силы тяги. Таким образом, обозначив через f коэффициент трения между материалами, из которых состоят точка и плоскость опоры, будем иметь
Это заключение приводит к постановке более общей задачи о равновесии точки, опирающейся на любую поверхность, через которую она не может пройти.
Для того чтобы сделать следующий шаг в этом индуктивном обобщении, рассмотрим фиг_ 2.
сначала точку Р, опирающуюся вместо горизонтальной плоскости на произвольно ориентированную плоскость я (фиг. 2). Предположим, что в данный момент материальная точка P находится в соприкосновении с плоскостью под действием известных активных сил, равнодействующая которых (включающая и вес, если P — тяжелая точка) есть F. Обозначим через п внутреннюю нормаль к плоскости в точке Р, т. е. перпендикуляр к тс, направленный в ту сторону, куда связь не позволяет точке двигаться. Если равнодействующая активных сил направлена 8
гл. к. tpehbe и статика точки
наружу, т. е. образует с внутренней нормалью п тупой угол, то будем иметь Fn < 0. В этом случае связь вследствие своей односторонней природы не в состоянии как-нибудь ограничить свободу точки, которая поэтому будет подчиняться действию силы F, как если бы она была свободна. Отсюда как необходимое условие для равновесия точки P вытекает соотношение
Предполагая теперь, что это условие выполнено, рассмотрим, наряду с проекцией Fn силы F на внутреннюю нормаль п, её составляющую F', параллельную плоскости я, и обозначим соответственно через N я T абсолютные значения Fn и F'. Заметим, что при выполнении условия (1) Fn совпадает и по знаку с N. Тогда можно считать, что точка находится под действием двух активных сил: силы Fn, направленной по внутренней нормали и имеющей величину N, и силы Fr, параллельной плоскости тс и равной по величине Т. Таким образом, за исключением того обстоятельства, что здесь плоскость опоры не горизонтальна, точка P находится в условиях, совершенно аналогичных тем, которые былн рассмотрены выше, когда точка веса р опиралась на горизонтальную плоскость и находилась под действием силы тяги г, параллельной плоскости опоры. Роли веса р и силы і выполняются здесь соответственно силами, имеющими величины N и Т. На основании того соображения, что результат действия силы не зависит от способа, которым она осуществляется, мы можем считать, что поведение точки P будет точно таким же, как если бы плоскость опоры была горизонтальной, а на точку P действовали только вес N и горизонтальная сила Т. Обозначая через f коэффициент трения точки о плоскость, мы заключаем, что необходимым и достаточным условием для равновесия [в предположении, что выполняется соотношение (1)] будет
4. Точка, опирающаяся на любую поверхность. Теперь остается сделать еще один шаг и рассмотреть случай, когда тело, на которое опирается точка Р, ограничено любой поверхностью о. Какова бы ни была равнодействующая F активных сил, действующих на точку, опорная поверхность о, ограничивающая свободу перемещения точки Р, действует на точку только по небольшой площадке, которую можно отождествить с элементом касательной плоскости ков положении, занимаемом точкой Р. Отсюда следует, что условия равновесия совпадают с теми, какие имели бы место, если бы эта касательная плоскость была изготовлена из того же самого материала, из которого состоит тело, ограниченное поверхностью о. Другими словами, если f есть коэффициент трения точки P о поверхность з, a N и T — соответственно абсолютные величины
^n > О
(1)
T<fN-
(2) § і. равновесие точки, опирающейся на поверхность
9
составляющих силы F по внутренней нормали и по касательной плоскости, то необходимые и достаточные условия равновесия выразятся соотношениями
Fn>0, (1)
TKfN. (2)
В частности, равновесие будет иметь место также и при T = fN; в этом случае говорят, что имеется предельное состояние равновесия, так как, для того чтобы нарушить равновесие, достаточно самого незначительного увеличения касательной составляющей равнодействующей активных сил.
5. Угол и конус трения. Условиям (1) и (2) можно придать вид, более удобный для приложений. Рассматривая угол, составляемый равнодействующей активных сил с внутренней нормалью, будем иметь равенство (фиг. 3)
