Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
38
положение также и этот центр тяжести G'; но, как мы сейчас покажем, точка G', при одновременном стремлении к нулю объемов всех отдельных частей тела О, всегда стремится к вполне определенному предельному положению G, не зависящему от закона, по которому заставляют стремиться к нулю объемы отдельных частиц. Когда это будет доказано, тогда будет оправдано и название определенной таким образом точки G центром тяжести тела.
Чтобы доказать существование и единственность точки G, вспомним, что если [А {х, у, з) есть плотность (объемная, локальная) тела С, то масса Ат любой частицы ДО из С при каком угодно разбиении определяется (п. 4) равенством
Д т — у. Д S 8 Д S,
где у. подразумевается вычисленной для одной из точек объема AS частицы АС, а є стремится к нулю вместе с AS; если обозначим через in полную массу тела С, то центр тяжести G' системы материальных точек ДО, составляющих тело С, относительно начала координат О определится векторным уравнением
mOG'= ^ OPp AS+^i OPe AS. (10)
Далее, представим себе, что разбиение тела О изменяется таким образом, что объем AS всякой отдельной его частицы стремится к нулю. Так как по предположению (п. 4) функция р (х, у, z) интегрируема и, следовательно, таковыми же будут функции хр, y\i.,
zp и вектор рОР, то первая сумма в правой части равенства (10) стремится к интегралу
fOPpdtf,
распространенному на объем S тела С. С другой стороны, вследствие известных из анализа рассуждений вторая сумма, в которой є бесконечно мало вместе с AS, стремится к нулю, каков бы ни был закон, по которому стремятся к нулю объемы отдельных частиц тела О; поэтому заключаем, что G' всегда имеет в качестве предельного положения точку G, определяемую векторным равенством
OG = J OPpdS,
т
S
которое, если примем во внимание равенство (6) из п. 4, можно написать в виде
f OP [л с/Л'
OG= ^--(11)
f !<¦ dS 4 '
8 34
гл. x. геометрия ма.сс
Если мы спроектируем это равенство на оси координат, то для координат х0, у о, Z0 точки G получим выражения
[ ж;/. dS [ yv- dS С dS
' Уо= ' *0== S^ds ¦ (1Ґ)
SSS
Этими формулами определяется центр тяжести какого угодно тела. Очевидно, что предыдущие рассуждения и окончательные формулы (11), (11') сохраняют свое значение также и для какой угодно материальной поверхности или материальной линии; при этом вместо объемной плотности подставляется поверхностная или линейная плотность, а в качестве области интегрирования берется вместо объема поверхность или линия. Полученный результат можно выразить так: в случае непрерывной системы материальных точек центр тяжести всегда можно определить векторным равенством (8) п. 8, для этого достаточно вместо массы частицы подставить элементарную массу (т. е. произведение локальной плотности на соответствующий элемент объема), а вместо суммы — интеграл.
Отметим, наконец, что для однородной системы (ji. = const) равенства (11) и (Il') принимают вид
[ OPd,S
OG = -^r-, (12)
jxdS ^ ydS j is dS
xO^ g > Уо— g у ^o-—g • (12')
Положение центра тяжести зависит в этом случае исключительно от геометрической формы области интегрирования. Поэтому можно говорить о центре тяжести тела, поверхности, линии как о геометрической точке, определяемой равенством (12) или (12'); однако эта точка представляет интерес лишь благодаря механическому смыслу, вытекающему из того, что область S предполагается заполненной равномерно распределенной материей.
16. Определение центра тяжести некоторых фигур. У фигур, имеющих центр (точка пересечения трех несовпадающих диаметральных плоскостей, если речь идет об объеме, и двух диаметральных прямых, если речь идет о плоской фигуре), центр тяжести совпадает с центром фигуры (п. 18).
У параллелепипеда плоскости, проходящие через середины параллельных ,ребер, будут, очевидно, диаметральными плоскостями, сопряженными с направлениями соответствующих ребер; отсюда s 4. центр тяжести тела, поверхности и линии
35
легко вывести, что центр тяжести параллелепипеда совпадает с точкой пересечения этих или диагональных плоскостей; центр тяжести параллелограмма совпадает с точкой пересечения его диагоналей, а для эллипсоида или эллипса — с соответствующим центром, н т. д.
Очевидно, что центром тяжести отрезка является его середина, а) Треугольник. Каждая медиана есть диаметральная линия, сопряженная с направлением стороны, которую она делит пополам. Точка встречи медиан есть поэтому центр фигуры и центр тяжести ее.
Простые рассуждения из элементарной геометрии показывают (фиг. 12), что на каждой медиане центр тяжести находится на
А
расстоянии одной трети ее от основания. Можно также сказать, выбрав одну сторону как основание, что центр тяжести находится на соответствующей медиане на расстоянии одной трети ее от основания.
б) Четырехугольники и многоугольники. Пусть задан простой, т. е. выпуклый, четырехугольник ABCD (фиг. 18). Диагонали АС, BD разбивают его каждая на два треугольника ABC, ABC и BAD, BCD.
На основании предыдущего мы можем указать центры тяжести (I , G , Gi, G1 каждого из этих треугольников. В силу распределительного свойства (п. 12) центр тяжести G четырехугольника является также и центром тяжести двух точек G', G", если каждой из них приписывается надлежащая масса (масса соответствующего треугольника). Отсюда следует, что G лежит на отрезке G'G", По той же причине G лежит на отрезке G1G1, так что центр тяжести четырехугольника совпадает с точкой пересечения отрезков G'G" с GiG1.
