Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 12

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 134 >> Следующая


т' OG' + т" OG'' = mOG;

т. е. центр тяжести G системы совпадает с центром тяжести масс т'> т", помещенных соответственно в G', G".

Теорема, очевидно, распространяется и на тот случай, когда система разделена более чем на две части. § 3. центр тяжести системы материальных точек

31

13. Диаметральные плоскости и плоскости симметрии. Говорят, что система S материальных точек обладает диаметральной плоскостью Tz, сопряженной с некоторым заданным направлением г (не параллельным плоскости), когда всякой точке из S соответствует другая с равной массой, расположенная на прямой, параллельной г и проходящей через первую, на том же самом расстоянии от плоскости it и с противоположной стороны от нее.

Точки, которые таким образом соответствуют друг другу, называются сопряженными.

Диаметральная плоскость it называется, в частности, плоскостью симметрии, когда она перпендикулярна к сопряженному направлению г, так что сопряженные точки будут симметричными относительно ПЛОСКОСТИ It.

Так как центром тяжести двух точек с равными массами является их средняя точка, то всякая пара сопряженных точек имеет центр тяжести на диаметральной плоскости тт. Воображая систему S разбитой на столько частей, сколько имеется пар сопряженных точек, и применяя распределительное свойство, выводим следующее заключение: если система обладает диаметральной плоскостью илиу в частности, плоскостью симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости.

Отсюда следует, что: 1) если имеются две диаметральные плоскости, то центр тяжести лежит на прямой их пересечения; 2) если система допускает больше чем две диаметральные плоскости, то эти плоскости имеют, по крайней мере, одну общую-точку, которая и является центром тяжести системы.

В случае системы, все точки которой расположены в одной и той же плоскости, можно, очевидно, рассматривать диаметральные прямые (сопряженные с заданным направлением) или, в частности» оси симметрии; при этом будут справедливы выводы, аналогичные только что высказанным.

14. Теорема Лагранжа х). Будем называть полярным моментом инерции системы материальных точек относительно точки P сумму произведений масс т{ точек Pi системы на квадраты их расстояний от Р, т. е. число

Mp=^miPP]. і

Исходя из этого определения, докажем теорему: центр тяжести любой системы можно определить как такую точку пространства, для которой полярный момент будет наименьшим.

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине в 1736 г., умер в Париже-в 1813 г., широко известен как автор Аналитической механики. Он дал систематическое изложение аналитической механики, показав, как можно все-частные теоремы о равновесии, как известные, так и доказанные им самим, 32

гл. x. геометрия ма.сс

Действительно, принимая во внимание тождество PPl = PPl PPi = PG-^-GPit мы можем написать

Mp = 2 Щ GP\ + PG2 2™< + ZPG-^miGPi. (9) Но в последнем члене правой части множитель

2 Щ GPi

равен тождественно нулю, как это видно из равенства (8), если предположить, что начало координат О совпадает с центром тяжести G; поэтому равенство (9), в котором первый член в правой части является не чем иным, как полярным моментом Me системы относительно точки G, можно написать в виде

Mp=M0-^m PG0-.

Отсюда непосредственно следует, что центр тяжести G есть точка, для которой полярный момент инерции достигает минимума; действительно, для всякой другой точки P этот момент будет больше, чем Mq, на существенно положительную величину mPGu, которая обращается в нуль только тогда, когда P совпадает с G.

§ 4. Центр тяжести тела, материальной поверхности и материальной линии

16. Для того чтобы определить центр тяжести какого-нибудь тела С, представим себе, что оно разложено как-либо на части ДО, которые можно считать материальными точками, и рассмотрим центр тяжести G' этих материальных точек, составляющих тело С. При изменении разбиения С на части изменяет, вообще говоря, свое

вывести из одного общего принципа, называемого принципом виртуальных скоростей или принципом виртуальных работ. ,Mecanique analytique" была напечатана в первый раз в Париже в 1788 г.

Помимо вариационного исчисления, которое было одним из первых открытий Лагранжа, надо отметить его исследования, ставшие классическими, по теории чисел и теории алгебраических уравнений, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, по небесной механике (в частности, по задаче трех тел и по теории возмущений) и по гидродинамике.

Девятнадцати лет он получил звание профессора математики в Артиллерийской школе в Турине; немного позже был одним из основателей Туринской Академии наук. В 1766 г. был приглашен в Берлинскую Академию наук, где, после Эйлера, руководил математической секцией. В 1787 г. был приглашен в Париж. В течение революции и в последующий, наполеоновский, период он был советником французского правительства и сенатором. Преподавал в Высшей нормальной школе и в Политехнической школе, где им были написаны руководства по теории функций и по элементарной математике. § 4. Центр тяжести тела, поверхности и линии
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed