Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
То же самое справедливо и для материальной линии.
§ 3. Центр тяжести системы дискретных материальных
точек
8. Пусть мы имеем систему S, состоящую из некоторого конечного числа материальных точек Pi с массами жг (i=l, 2, 3 ...), и рассматриваем силы веса т{д, действующие на эти точки. Эти силы составляют систему параллельных и одинаково направленных векторов, которая имеет, как мы знаем (гл. I, п. 56), вполне определенный центр G. Если мы выберем в качестве начала координат произвольную точку О системы отсчета и обозначим через т
полную массу 2 т% точек системы, то положение центра G параллельных сил определится векторным уравнением
—ь ItliOPі
OG= * (8)
т v^
Точка G называется центром тяжести системы. Она зависит исключительно от конфигурации системы и от масс отдельных ее точек, а потому называется также центром масс системы.
Относительно любой системы координат с началом в О будем иметь
хо — —=—» Уо — —™—» о —=—» (P) § 3. центр тяжести системы материальных точек
29
где:
Xi, Iji, Zi — координаты точек Pi системы;
хо> Уо> sO — координаты центра тяжести G.
Отсюда видно, что если мы изменим массы всех точек системы в одном и том же отношении, то центр тяжести не изменится.
9. Из равенства (8) следует, что если все точки системы лежат в одной и той же плоскости или на одной и той же прямой, то то же самое будет иметь место и для их центра тяжести.
Действительно, если в случае точек, лежащих в одной плоскости, мы возьмем начало координат О в той же плоскости, то в ней
же, очевидно, будут лежать и все векторы OPi, а, следовательно,
в силу равенства (8) также и вектор OG, т. е. центр тяжести G. В случае прямой достаточно подобным же образом взять точку О на прямой и применить формулу (8).
10. Статические моменты. Равенствам (8') можно придать геометрическое истолкование, которое в некоторых приложениях имеет преимущество, так как оно не зависит от предварительного выбора системы координат.
Будем называть статическим моментом некоторой материальной точки с массой т относительно какой-нибудь плоскости те произведение т на расстояние точки от плоскости, со знаком плюс, если точка лежит в одном (произвольно выбранном) из двух полупространств, определяемых плоскостью it, и со знаком минус, если точка лежит в другом полупространстве.
Совмещая с плоскостью it одну из координатных плоскостей, например плоскость 2 = 0, из третьего из равенств (8') выводим, что сумма статических моментов точек системы относительно любой плоскости те равна статическому моменту всей массы системы, в предположении, что эта масса сосредоточена в центре тяжести.
Это и есть то геометрическое истолкование формул (8'), о котором говорилось выше; применяя его к трем координатным плоскостям, мы опять придем к формулам (8').
Для материальных точек, лежащих в одной и той же плоскости, мы будем иметь аналогичное предложение, если определим тем же способом статический момент материальной точки относительно прямой.
11. Из определения центра тяжести вытекают некоторые важные свойства его. Докажем прежде всего одно из них, которое справедливо для центра всякой системы параллельных приложенных векторов, направленных в одну и ту же сторону (ср. гл. I, п. 56): 30
гл. x. геометрия ма.сс
Центр тяжести системы материальных точек лежит внутри всякой выпуклой поверхности о, заключающей все точки системы.
Достаточно показать, что относительно любой плоскости it, касательной к поверхности о, центр тяжести Cr лежит с той же стороны от плоскости it, с которой находится о, так как тогда он должен лежать в области, огибаемой различными касательными плоскостями, т. е. как раз должен быть внутри о.
Для этого, выбрав любую касательную плоскость тг, примем ее за координатную плоскость ху и направим ось в в ту сторону, где лежит а. Координаты г отдельных точек Pi будут тогда положительными, а следовательно, будет положительной н координата
z = 2 VHiZiIm центра тяжести. і
Аналогичными рассуждениями можно доказать, что:
Центр тяжести системы материальных точек, лежащих в одной и той же плоскости, находится внутри выпуклой замкнутой линии, заключающей все точки системы.
Центр тяжести системы материальных точек, лежащих на одной и той же прямой, находится внутри отрезка, определяемого двумя крайними точками системы.
12. Распределительное свойство центра тяжести. Если система S материальных точек разделена на две части S' и S" и т', т" — полные массы систем S' и 8", a G', G" — их центры тяжести, то центр тяжести G системы S совпадает с центром тяжести масс т', т", в предположении, что они сосредоточены соответственно в G' и G".
Действительно, если через Pi л P1j обозначим точки из &" и S", через т'{ и т".—их массы, то относительно любой точки О будем иметь
—^ yZmiOP' „ У,т"ОР"
OG = ——-*-, OG"= ^ >„ 1
т' ' т"
и, следовательно,
т' OG' + т" OG" = 2 т{ 0Р< + 2 Щ OPj-
Так как в суммы в правой части входят все точки данной системы, то заключаем на основании формулы (8), что
