Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Отправляясь от этой функции [а, мы получим массу т в виде-интеграла от ja, распространенного на область S. Для этой цели достаточно принять во внимание, что равенство (4), обозначив через е некоторую величину, стремящуюся к нулю вместе с AS* можно написать в виде
Д т ,
Xs=^e
или в виде
Д»г = }1,Д#-]-еДЯ; (5)
Этим мы хотим сказать, что может существовать лишь конечное числа поверхностей, при дереходе через которые функция испытывает разрывы. 26
гл. x. геометрия ма.сс
отсюда следует, что
Я» = 2(1»^+в AS),
где сумма распространяется на весь объем S, занятый телом С. Так как это соотношение справедливо при любом разделении тела на части, то достаточно будет заставить стремиться к нулю по какому угодно закону объем AS каждой отдельной частицы, чтобы на основании известных соображений из анализа получить
т = J [і (х, у, г) dS, (6)
s
где dS означает элемент объема.
Элемент интеграла (6), распространенного на область трех измерений, можно представить на основании формулы (5) (по крайней мере, до бесконечно малых высшего порядка) в виде
dm = [J. (х, у, s)dS. (7)
Этот материальный элемент (бесконечно малая масса, распределенная в бесконечно малом объеме) является чисто математическим понятием; но так как при изложении принципов механики материальной точки и при дальнейших выводах мы всегда отвлекаемся от абсолютной величины частицы, которую называем точкой, и считаем, что эти принципы и выводимые из них следствия справедливы для частиц сколь угодно малых размеров, то они могут считаться имеющими силу и в пределе, а следовательно, и для только что рассмотренных материальных элементов.
Заметим, что равенство (6) при постоянном у. (т. е. при у., не зависящем от х, у, в) дает
т = J* J dS = [іД
s
откуда мы снова можем найти выражение для плотности ц однородного тела, из которого исходили.
5. Материальные поверхности и линии. Рассмотрим, в частности, тело, одним измерением которого можно пренебречь, например пластинку или мембрану или стенки сосуда столь малой толщины (по сравнению с другими размерами), что занятое ими пространство можно приближенно определить посредством куска поверхности. Такое тело называется материальной поверхностью.
Аналогично, материальной линией называется тело, уподобляемое (в отношении занимаемого пространства) геометрической линии, например нить, тонкий стержень, тонкое кольцо (с таким отверстием, чтобы его нельзя было рассматривать как одну материальную точку). § а. плотность
27
Обозначим через S геометрический образ (поверхность или линию), соответствующий некоторой материальной поверхности или линии. Далее, введем условие, посредством которого всякому элементу AS поверхности или линии соответствует некоторый элемент AC тела. Самый простой и естественный способ установить такое соответствие заключается в следующем:
1) В случае поверхности элементу AS (фиг. 10) ставят в соответствие часть тела, заключенную внутри цилиндроида, который образован нормалями к поверхности S, восставленными из отдельных точек контура AS.
Когда поверхность S представляет собой плоскость, цилиндроид ¦обращается в цилиндр, который всегда можно рассматривать, пред-лолагая AS бесконечно малым.
2) В случае линии элементу AS (фиг. 11) ставят в соответствие часть тела, заключенную между двумя нормальными к S плоскостями, проведенными через концы AS.
Так как всем точкам пространства, занятого телом, могут быть доставлены в соответствие точки S, то, очевидно, тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, размещенных на S. Разделив S на достаточно малые части AS, каждой из них ставят в соответствие материальную точку по только что установленным правилам.
6. Подобно тому как мы поступили в случае тел трех измерений, введем и здесь среднюю плотность m/S и локальную плотность
предполагая, что элемент AS безгранично уменьшается, стремясь к определенной точке P из S.
Что касается существования этого предела и его аналитического выражения в функции от точек области S, то здесь сохраняют свое значение соображения, аналогичные соображениям п. 4.
В конечном счете достаточно сохранить формулы (6) и (7) с очевидной оговоркой, что хотя у. и продолжает обозначать (интегрируемую) функцию точек области S, однако ее физическая природа •будет различной в зависимости от числа измерений области; в общем 28
гл. x. геометрия ма.сс
случае п. 4 будет отношением (или пределом отношения) массы к объему и, следовательно, будет иметь размерность 1~ 9т; в случае материальной поверхности речь идет об отношении массы к площади, имеющем размерность l~Qm\ в случае материальной линии— об отношении массы к длине, имеющем размерность 1~3т.
Для избежания неясности эти три случая плотности различают, вводя названия: кубическая или объемная плотность (понятие, сохраняющее свое значение для какого угодно тела), поверхностная плотность (применяется в случае материальных поверхностей), линейная плотность (применяется в случае материальных линий).
7. Материальная поверхность называется однородной, когда ее поверхностная плотность постоянна. Заметим, что однородная материальная поверхность, рассматриваемая как тело трех измерений, т. е. имеющая постоянную объемную плотность, может не быть-однородной в смысле поверхности, т. е. может иметь не постоянную поверхностную плотность. Достаточно представить себе пластинку или лист из однородного материала, но с изменяющейся от точки к точке толщиной; в этом случае поверхностная плотность изменяется пропорционально толщине.
