Механика космического полета в элементарном изложении - Левантовский В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Всегда важно помнить, что любая кеплерова орбита расположена в плоскости, проходящей через центр притяжения. Положение этой плоскости в пространстве не изменяется.
Полная механическая энергия для всех точек некоторой кеп-леровой орбиты есть величина постоянная. Для параболической орбиты она всюду равна нулю, так как в этом случае в бесконечности равны нулю и кинетическая энергия, и потенциальная. Для любой эллиптической орбиты она отрицательна (так как эллиптическая скорость меньше параболической), а для любой гиперболической — положительна. В последнем случае величина Vi00 представляет собой удвоенную полную механическую энергию, приходящуюся на единицу массы космического аппарата (для краткости ее часто называют просто «энергией запуска» или «удельной энергией», забывая о коэффициенте 2).
§ 6. Неограниченная задача двух тел
До сих пор мы рассматривали ограниченную задачу двух тел, предполагая, что масса космического объекта настолько мала, что притяжение им центрального тела никак не сказывается на движении центрального тела. В случае, однако, естественных небесных тел дело обстоит не так. Центральное тело под действием другого тела совершает некоторое движение, которое, естественно, отражается на движении второго тела, которое, в свою очередь, действует на центральное тело, и т. д. Оказывается, что в конечном счете оба тела совершают кеплеровы движения относительно общего центра масс (барицентра) с равными периодами обращения, определяемыми по формуле (5), справедливой для ограниченной задачи двух тел, но величина К в этой формуле теперь имеет значение /e=;f(M+m), а под величиной а следует понимать сумму полуосей обеих орбит.
В новой интерпретации формула (5) получает простой физический смысл.
Изобразим на чертеже (рис. 18, а) эллиптические орбиты двух
М и т- Для конкретности примем М=2т, что может соответствовать, скажем, случаю двойной звезды. Оба тела опи- s 6. Неограниченная задача двух тел
67
сывают вокруг своего барицентра С, как вокруг фокуса, подобные эллипсы (с равными эксцентриситетами), оставаясь все время на прямой, проходящей через барицентр, по разные его стороны. Масса т описывает эллипс вдвое большего размера, чем масса М.
Рассмотрим теперь то же явление с точки зрения наблюдателя, находящегося на большой звезде М. Для него звезда M
u/?ou/7?a ff ззгздмт
заеэЯь/ Af —¦>*¦—
J / /
с относительна ____^__^ зееэды Af
Рис. 18. Траектории движения звезд ти M при соотношении масс М^*2т: а) барицеитриче ские: б) относительно звезды М. Одновременные положения звезд обозначены одинаковыми
цифрами.
неподвижна. Взяв с рис. 18, а для каждого момента времени расстояния звезды т от M и отложив их в соответствующем направ, лении, мы получим орбиту звезды т относительно M (рис. 18, 6)-Легко убедиться, что большая ось этой орбиты равна сумме больших осей орбит обеих звезд в их барицентрическом движении (рис 18, а).
Тело т движется относительно тела M так, как двигалось бы по той же орбите тело с пренебрежимо малой массой, если бы центральное притягивающее тело имело массу М~\-т. Сказанное касается и периода обращения по относительной орбите, и соответствующей орбитальной скорости. Для обеих величин сохраняют свою силу формулы (4) и (5), в которых К=[(М+т),
В небесной механике в большинстве случаев имеет смысл рассматривать не абсолютное движение («движение в барицентрической системе координат»), а относительное движение. Так поступают при изучении движения естественных спутников планет; в частности, обычно рассматривают относительное, геоцентрическое, движение Луны вокруг Земли и реже — ее барицентрическое движение. Выражаясь строго математически, геоцентрическое движение есть движение в системе координат с началом в центре Земли и неизменно направленными осями («направленными на неподвижные звезды»), барицентрическое движение — движение в также невращающейся системе координат с началом в барицентре
я» 68
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЙ ПОЛЕТ B ПОЛЯХ ТЯГОТЕНИЯ
(для случая Земли и Луны M=81,30 т, барицентр располагается внутри Земли на среднем расстоянии 4671 км от ее центра при среднем расстоянии от Земли до Луны 384 400 км).
§ 7. Сфера действия и приближенный метод расчета
траекторий
Кеплерово движение космического аппарата в точности никогда не может осуществляться. Притягивающее небесное тело не может обладать точной сферической симметрией, и, следовательно, его поле тяготения не является, строго говоря, центральным. Необходимо учитывать притяжение других небесных тел и влияние иных факторов. Но кеплерово движение настолько просто и так хорошо изучено, что бывает удобно даже при отыскании точных траекторий не отказываться полностью от рассмотрения кепле-ровой орбиты, а по возможности уточнить ее. Кеплерова орбита рассматривается как некая опорная орбита, но учитываются возмущения, т. е. искажения, которые орбита претерпевает от притяжения того или иного тела, светового давления, сплюснутости Земли у полюсов и т. д. Такое уточненное движение называют возмущенным движением, а соответствующее кеплерово движение — невозмущенным.
