Механика космического полета в элементарном изложении - Левантовский В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Радиус круговой орбиты г равен большой полуоси а. Из формулы (4)
O2KP=-T-' или v^sss Vt- • (8)
Из последней формулы, зная К для Земли, легко найти круговую скорость для любого расстояния г от ее центра или для
х) Трансверсальное направление совпадает с горизонтальным, если пренебречь сплюснутостью Земли. 64
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЙ ПОЛЕТ B ПОЛЯХ ТЯГОТЕНИЯ
любой высоты h над земной поверхностью (h=r — г*, где а*== =6371 км — средний радиус Земли).
В частности, у поверхности Земли (r=r*, h=0) круговая скорость равна 7,910 км/с. Эту величину называют первой космической скоростью•
Из-за наличия земной атмосферы круговая орбита вблизи земной поверхности фактически неосуществима. Поэтому более верно было бы называть первой космической скоростью круговую
скорость на высоте, где спутник способен совершить хотя бы один оборот, т. е. на уровне примерно 160 км. С другой стороны, орбита на высоте 200 км зачастую принимается как некая стандартная при теоретических подсчетах [1.4, 1.36, 1.37]. При \ h==200 км круговая скорость равна 7,788 км/с и некоторыми" авторами принимается за «первую космическую» [1.4] г).
Если записать формулу (4) для начального момента времени, а именно:
U2 uO
К
(9)
Рис. 17. Орбиты при различных трансверсальных начальных скоростях V0:! — круговая (o0=7,910 км/с); 2, 3,
4 — ЭЛЛИПТИЧеСКИе ПРИ 00=
= 10,0, 11,0, 11,1 км/с; 5 — параболическая (11,186 км/с); 6 — гипербо лическая (12,0 км/с).
то нетрудно заметить, что с увеличением начальной скорости U0 большая полуось а также увеличивается. На рис. 17 показаны эллиптические орбиты при различных величинах трансверсальной начальной скорости, сообщаемой у поверхности Земли.
Из формулы (9) видно, что по мере того, как и2 приближается к постоянной величине 2/С//"о, большая полуось а стремится к бесконечности.
3) Параболические траектории. Эллиптическая орбита, у которой «апогей находится в бесконечности», не является уже, конечно, эллипсом. Двигаясь по такой траектории, космический аппарат бесконечно далеко уходит от центра притяжения, описывая разомкнутую линию — параболу (рис. 17). По мере удаления аппарата его скорость приближается к нулю.
Приняв в формуле (3) скорость в бесконечности равной нулю (/•=оо, и=0), мы найдем такую величину начальной скорости и0,
х) В литературе иногда не делают различия между круговой (на любой высоте) и первой космической скоростями, что приводит к недоразумениям. Круговую скорость у поверхности любого небесного тела некоторые авторы называют нулевой круговой скоростью [1.37]. Таким образом, первая космическая скорость есть нулевая круговая скорость для Земли. § 5. ТРАЕКТОРИИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
65
которая обеспечивает возможность рассматриваемого движения. Получим
или
. (10)
Вычисленная по формуле (10) величина называется параболической скоростью или скоростью освобождения. Получив такую скорость, космический аппарат движется по параболе и уже не возвращается к центру притяжения, как бы освобождаясь от оков тяготения. Когда скорость (10) сообщается в вертикальном направлении, траекторией является прямая линия, но и в этом случае скорость называют параболической. Между скоростью освобождения и круговой скоростью в любой точке существует простая зависимость
v0C^vKVV2, или t>0CB« l,414t>Kp. (11)
Значение скорости освобождения (параболической скорости) у поверхности Земли (г=г*=6371 км) носит название второй космической скорости и составляет 11,186 км/с. На высоте h=200 км росв —11,015 км/с.
Воспользовавшись формулой (10), мы можем теперь записать основную формулу (3) для скорости в центральном поле тяготения так:
= (12)
4) Гиперболические траектории. Если космический аппарат получит скорость превышающую параболическую, то он, разумеется, также «достигнет бесконечности», но при этом будет двигаться уже по линии иного рода — гиперболе. При этом скорость аппарата в бесконечности (tf) уже не будет равна нулю. Физически это означает, что по мере удаления аппарата его скорость будет непрерывно падать, но не сможет стать меньше величины C00, которую можно найти, приняв в формуле (12) г=оо. Получим
vl =V20-V2ocb0. (13)
Величину Vao называют по-разному: остаточная скорость, гиперболический избыток скорости и т. п.
Гиперболическая траектория вдали от центра притяжения становится'почти неотличимой от двух прямых линий, называемых асимптотами"гиперболы. На большом расстоянии от центра притяжения гиперболическую траекторию приближенно можно считать прямолинейной. 66
гл. 2. свободный полет в полях тяготения
Для гиперболических и параболических орбит справедливы, как и для эллиптических орбит, формулы (7) и (7а).
В заключение заметим, что пассивное движение в центральном поле тяготения часто называют кеплеровым движением, а эллиптические, параболические и гиперболические траектории объединяются общим названием кеплеровых орбит по имени немецкого ученого Иоганна Кеплера (1571—1630), впервые установившего эллиптическую форму орбит планет, указавшего законы их движения (фактически — формулы (5) и (7)) и тем самым положившего начало небесной механике как науке.
