Механика космического полета в элементарном изложении - Левантовский В.И.
Скачать (прямая ссылка):
/=• = /». (1)
Здесь F — величина обеих сил притяжения, тх и т2 — массы притягивающихся материальных точек, г — расстояние между ними, f — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной тяготения (гравитационной постоянной). Если измерять массу в килограммах (кг), силу — в ньютонах (H), а расстояние — в метрах (м), то, как показывают точные измерения, постоянная тяготения равна 6,672-IO-11 м3/(кг-с2).
Заметим, что в отличие от инертной массы, фигурирующей во втором законе Ньютона, здесь речь идет о тяготеющей (гравитационной) массе. Весь человеческий опыт (наука, техника, повседневная жизнь) подтверждает эквивалентность, пропорциональность этих двух видов масс. При соответствующем подборе гравитацион- § 2. ЗАДАЧА Tt ТЕЛ
55
ной постоянной (как это выше и сделано) их можно считать попросту равными.
На различных этапах космического полета различное значение может иметь воздействие среды, в которой происходит движение. Очень важную роль играет атмосфера, особенно когда движение происходит в ее нижних, плотных слоях. Силы, действующие со стороны атмосферы на космический аппарат, называются аэродинамическими. В верхней, разреженной части атмосферы аэродинамические силы также должны приниматься во внимание, если исследуется длительное движение спутников. Однако чрезвычайно разреженная среда, заполняющая межпланетное пространство (в одном кубическом сантиметре там содержится всего лишь несколько сот атомов), практически не оказывает никакого влияния на движение космических объектов и ни в каких расчетах не учитывается.
В межпланетном пространстве важную роль может играть давление солнечного излучения, которое совершенно незаметно в повседневной жизни. Если масса космического аппарата невелика, а поверхность, на которую давят солнечные лучи, значительна, то действием этого фактора в течение длительного промежутка времени пренебрегать нельзя. Но в большинстве случаев можно пренебречь и солнечным давлением.
Остается, пожалуй, еще возможность столкновения в космосе с метеоритом. Но удары мелких метеоритов на траектории космического аппарата не сказываются (они, правда, могут изменить его ориентацию в пространстве), а встреча с крупным метеоритом маловероятна; к тому же она должна привести к катастрофическим последствиям, делающим бессмысленным изучение дальнейшего движения объекта. Впрочем, удары крупных метеоритов непредсказуемы, а значит, их и невозможно учесть.
Наконец, на космический аппарат в мировом пространстве действуют электрические и магнитные силы, но они в основном оказывают влияние не на движение аппарата по траектории, а на его вращение вокруг собственного центра масс (центра тяжести).
§ 2. Задача rt тел и метод численного интегрирования
Как мы видели, пассивное движение космического аппарата в мировом пространстве происходит в основном под действием сил притяжений небесных тел — Земли, Луны, Солнца, планет. Положение этих тел непрерывно изменяется, причем их движение, как и движение космического аппарата, происходит под действием сил всемирного тяготения. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью решения задачи о движении большого числа небесных тел (в том числе искусственного небесного тел і — космического аппарата) под действием сил взаимного притяжения. Такая задача 56
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЙ ПОЛЕТ B ПОЛЯХ ТЯГОТЕНИЯ
носит в небесной механике название задачи п тел. Говорят о «задаче пяти теп», «задаче трех тел» и т. д.
Решение этой задачи в общем случае всгречает колоссальные математические трудности. Даже задача трех тел решена лишь для нескольких частных случаев.
К счастью, в космодинамике задача п тел имеет особый характер. В самом деле, космический аппарат, как разъяснялось в § 2 Введения, не оказывает практически никакого влияния на движение небесных тел. Такой случай в небесной механике известен как ограниченная задача п тел. При ее решении движение Солнца, Земли, Луны и планет является заданным, так как оно прекрасно изучено астрономами и предсказывается ими на много лет вперед (вспомним, с какой точностью, например, предсказываются солнечные и лунные затмения). Это намного облегчает решение задач космодина-мики.
Расстояния от космического аппарата до Солнца, Земли, Луны и планеты в любой момент известны, массы всех этих тел также известны, а значит, известны по величине и направлению и ускорения, сообщаемые небесными телами космическому аппарату. В самом деле, если масса небесного тела М, а масса космического аппарата т, то гравитационное ускорение аг, сообщаемое аппарату, равно г Mm
силе притяжения / —деленной на массу т, т. е.
Таким образом, гравитационное ускорение зависит только от расстояния между притягивающимися телами и от массы притягиваю" щего тела, но не зависит от массы притягиваемого тела. Из этого простого утверждения, как мы увидим, будут вытекать очень важные следствия.
Сейчас же для нас только важно, что в любой момент по формуле (2) мы можем вычислить гравитационное ускорение, сообщаемое космическому аппарату каждым небесным телом в отдельности, а значит, можем вычислить (путем векторного сложения) и суммарное ускорение. Зная величину и направление начальной скорости космического аппарата, можно, учитывая вычисленное ускорение, рассчитать положение и скорость аппарата через небольшой промежуток времени, например через секунду. Для нового момента нужно будет заново вычислить ускорение и затем рассчитать следующее положение аппарата и его скорость и т. д. Таким путем шаг за шагом можно проследить все движение космического аппарата. Единственная неточность этого метода заключается в том что приходится в течение каждого небольшого промежуїка времени (шага расчета) считать ускорение при вычислениях неизменным, в то время как оно переменно. Но точность расчета можно как угод- § 3. НЕВЕСОМОСТЬ
