Механика космического полета в элементарном изложении - Левантовский В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Увых—V3 для внешних планет
(5)
V3—Vebjx для внутренних планет
(5')
или в общем случае (не только для орбит перехода, касающихся орбиты Земли) в векторном виде
^вых ^вых V3. § 4. ГОМАНОВСКЙЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПЕРЕЛЕТЫ 317
Величину Vbux можно вычислить из уравнения для эллиптического движения (см. формулу (9) в § 5 гл. 2):
Vm= Y *(зэ-4). <6>
где К — гравитационный параметр Солнца, а а — большая полуось орбиты перехода. Но a= (r3-^-rna)j2. Подставив в (6), после приведения к общему знаменателю найдем
V
вых
Yr3 V r3 {ra+ Япл)' (7)
Вспомнив, что j/2/(//?3 = j/2V3 = 42,122 км/с, и выразив радиусы планет в астрономических единицах, получим
Vbhx = 42,122 Yj^- км/с. (8)
С помощью формулы (8) и столбца 2 табл. 6 мы заполним столбец 6 табл. 6. Затем с помощью предыдущих формул заполнятся и столбцы 5, 2, 3, 4.
Продолжительность Тгом перелета по гомановской траектории (столбцы 8 и 9 табл. 6) вычисляется как половина полного периода обращения искусственной планеты, определяемого по формуле (5) в § 5 гл. 2:
(9)
Будем выражать расстояния в а. е., а время в звездных годах. Тогда для Земли из формулы для полного периода обращения г)
2л
Vk
Vai
найдем
U-Kl11 т. е. VK = 2я.
Yk
Отсюда
Fiw--^VO+/?„)»= 0,1767767^(1 л-Rn,Г звездных лет, (10)
х) Строго говоря, следует учесть общую массу Земли и Луны пг, т. е. писать вместо YfM выражение 1^/( Al-J-т), где M — масса Солнца. Но /я= 0,000003 M• Столь большая точность нам не нужна. F
Таблица 6. Гомановские траектории полетов к планетам, Солнцу и Луне
Небесное тело Начальная скорость, км/с Геоцентрическая скорость выхода из сферы действия Земли W' км/с Гелиоцентрическая скорость выхода из сферы действия Земли увых' км/с Скорость подлета к орбите цели Vbx, км/с Продолжительность перелета Угол начальной конфигурации, град Время от момента старта до нижнего соединения или противостояния, сут
У поверхности Земли На высоте 200 км Сход с орбиты высотой 200 км суток звездных лет
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Меркурий 13,486 13,344 5,556 7,533 22,252 57,484 105,5 0,29 —251,7 81,0
Венера 11,461 11,294 3,506 2,496 27,289 37,727 146,1 0,34 —54,1 87,8
Марс 11,567 11,401 3,613 2,945 32,729 21,480 258,9 0,71 44,3 96,0
Юпитер 14,228 14,093 6,305 8,792 38,577 7,415 997,5 2,73 97,1 107,6
Сатурн 15,198 15,073 7,285 10,289 40,074 4,201 2 209,1 6,05 106,0 111,3
Уран 15,887 15,766 7,978 11,281 41,066 2,140 5 858,1 16,04 III,5 114,5
Нептун 16,154 16,035 8,247 11,654 41,439 1,378 11 182,8 30,62 112,9 115,3
Плутон 16,270 16,152 8,364 11,814 41,599 1,053 16 654,3 45,60 113,4 115,5
Солнце 29,151 29,085 21,297 26,919 2,866 616 65,05 0,18 — —
Луна 11,09 10,9 3,1 0,2 5 0,014
о> 0$ § 4. ГОМАНОВСКЙЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПЕРЕЛЕТЫ
319
если rn3l выражено в а. е., или (звездный год содержит 365,25636 средних солнечных суток)
Ггом = 64,5688/(1+Япл)3 сут. (10')
В частности, полет по гомановской траектории к точке поверхности Солнца, противоположной Земле, отстоящей от центра Солнца на расстоянии 0,00465 а. е., должен продолжаться 65,02 сут. Необходимая для этого скорость отлета с Земли 29,151 км/с (см. табл. 6) есть минимальная скорость, обеспечивающая достижение Солнца. Она мало отличается от четвертой космической скорости. Полет с четвертой космической скоростью до центра Солнца [Rna=Q в формуле (10')) продолжается 64,57 сут.
Повторяя рассуждения § 6 гл. 5, мы придем к понятию начальной конфигурации Земли и планеты назначения относительно Солнца, позволяющей совершить заданный перелет. Для гоманов-ского перелета угловая дальность равна 180°, и угол начальной конфигурации а|) (столбец 10 табл. 6) определяется по формуле
•ф= 180°—а, (11)
где а — дуга орбиты, проходимая планетой назначения за время перелета (находится умножением столбца 8 табл. 3 на столбец 8 табл. 6). Для внутренних планет угол ij) отрицателен: эти планеты в момент старта находятся позади Земли, а не впереди нее, как внешние планеты.
Начальная конфигурация наступает за определенное время (столбец 11 табл. 6) до того момента, как внутренняя планета «догонит» Землю и окажется на линии Солнце — Земля («нижнее соединение») или Земля «догонит» внешнюю планету и окажется на линии Солнце — планета («противостояние»). Это время т находится по формуле
т=== ) (o3- (0пл '
где CO3 и й)пд — дуги, проходимые Землей и планетой назначения за сутки (столбец 8 табл. 3). Начальная конфигурация (как и другая, произвольная, конфигурация) повторяется через синодический период (столбец 7 табл. 3), определяемый по формуле pCHHOft = ZWVI Рпл-'Рз I (§ 6 ГЛ. 5).
В табл. 7 приведены аналогичные данные для полетов к внешним планетам с начальной третьей космической скоростью V0= 16,653 км/с (у поверхности Земли) и выходными скоростями Cbhx= 12,337 км/с, ^вых=42,122 км/с.
Продолжительность перелета находится по формуле (приводим без вывода) 320 ГЛ. ІЗ. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПОЛЕТЫ С БОЛЬШОЙ ТЯГОЙ 1Щ
Таблица 7. Параболические траектории полетов к планетам и Луне
