Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
колебаниям решетки.
Определение матричных элементов и вероятностей переходов
согласно (5.85)-(5.87) приводит к весьма громоздким вычислениям
и проводится по-разному для рассеяния на акустических и
оптических колебаниях и в атомных и ионных кристаллах, поэтому
мы их здесь опустим и приведем лишь основные результаты
расчета.
Время релаксации при рассеянии
акустической ветви тепловых колеба-
ний
9я Mw*h* 1 с _
4 У2 Q0С*т3/ЧТ У7 ' У ¦
)
l - vт- 4 QoC2mkT " (5.89)
где й0- объем элементарной ячейки; w - скорость продольной
звуковой волны; М - масса атома и С - константа
взаимодействия электронов с фононами, характеризующая
вероятность перехода (wlt2) состояния в состояние фй2 под
действием тепловых колебаний. Нахождение С в результате
интегрирования выражения (5.86) и является центральной и
наиболее сложной задачей при изучении рассеяния носителей на
тепловых колебаниях решетки.
Бардиным и Шокли был развит другой метод вычисления
времени релаксации для атомной решетки, так называемый метод
деформационного потенциала, сущность которого заключается в
следующем.
Как известно (см. гл. 1), положение и ширина зон в кристалле
определяются расстоянием между соседними атомами (или
постоянной решетки). При продольных колебаниях это расстояние
меняется, что, в свою очередь, вызывает колебания дна зоны
проводимости, которые равносильны возникновению
потенциальных скачков на пути электрона, а следовательно,
должны вызывать его рассеяние. При этом подходе вероятность
рассеяния выражается
18* 275
через так называемую константу деформационного потен-
циала Е, характеризующую сдвиг дна зоны проводимости
(для электронов) или сдвиг верхнего края заполненной
зоны (для дырок) при однородной деформации кристалла;
константа Е с точностью до коэффициента равна константе
взаимодействия С, характеризующей взаимодействие элек-
тронов с фононами.
Время релаксации при рассеянии
на оптических колебаниях ионных
кристаллов:
- в области низких температур (Т < 0)
з
т = ЗУ2 (5 90)
z2e4m2
ftmo
s(l)(iifV'Vsb
(*•"•>
где z-заряд ионов; и0 - частота оптических колебаний
и М - средняя масса ионов; а - постоянная решетки;
- в области высоких температур (Т > 0)
I
"(/2 Ма3 (ft(o0)2e2
4я 1
г2е4т2/гГ
(5.91)
W- (5-92)
а
ПОЧТИ во всех явлениях переноса весьма серьезную роль играет
зависимость длины свободного пробега электрона от энергии (так
как она определяет среднюю энергию электронов в потоке). Как
мы видели, во всех рассмотренных выше случаях эта зависимость
носит степенной характер, таким образом, мы можем написать
I ~ ег. (5.93)
При рассеянии на ионах примеси г = 2, при рассеянии на
акустических колебаниях г = 0, при рассеянии на оптических
колебаниях ионных кристаллов г = 4/2 при Т <С 0 и г = 1 при Т > 0.
276
Получив явные выражения для т (е), мы можем их под-
ставить в (5.67), а затем - в (5.68) и таким образом вычис-
лить плотность тока, электропроводность и подвижность.
При этом для невырожденного электронного газа с изо-
тропной эффективной массой получаются следующие выра-
жения для подвижности.
Подвижность при рассеянии на аку-
стической ветви тепловых колебаний
и = -^= - -^V, (5.94)
3 l/я т з '
(kT)2
где т0ак - коэффициент в выражении для времени релакса-
ции, не зависящий от температуры и энергии,
9я
4 i/2
Q0C2m
УЯ /С Пгч
Т0ак = -777^ з" (5>95)
Подвижность при рассеянии на ионах
примеси
з
u = r^=-~4n(kT)\ (5.96)
У я т
где [см. (5.82) и (5.83)]
Х2/Л2,4 /с п-7\
t0H _ 2яЛ/иеТ (5,97)
(Na - число ионов в единице объема Л/И = а~3).
Подвижность при рассеянии на оптиче
ских колебаниях ионных кристаллов:
- в области низких температур (Т<0)
ftp) О
и = Т°0пте hT ' (5.96а)
где
з У2 Ма* (Поо)3/2 . (с
toonT--^ ' (5.97а)
- б области высоких температур (Т > 0)
и = -, (5.966)
3 ]/я (ЛГ)1/2 '
277
где
(5.976)
4я г2е*пг /2
При произвольной степени вырождения и простой зон-
ной структуре из (5.68) в общем случае получаем сле-
дующие выражения для электропроводности
а = L. = /0 (Т) {kT)^FT (р*) (5.68а)
и подвижности
И = ?, (5.686)
где
2mkT \3/2
. / 2mkT \ /2 " ,
П = 4я р-J Л/,(|* )-
5.5. ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПОЛЯХ
Все выводы относительно подвижности и электропроводности,
сделанные выше, основывались на двух предположениях: 1)
направленная добавка к скорости Да* [см. формулу (5.2)] мала по
сравнению с тепловой скоростью v0 и 2) концентрация носителей
электричества не зависит от поля и остается равновесной,
определяемой статистикой Максвелла - Больцмана или Ферми. В
действительности оба эти условия соблюдаются в полупроводниках
до определенных для каждого материала и температуры крити-
ческих полей; новые эффекты, которые происходят при нарушении
хотя бы одного из этих условий, называются явлениями в сильных
полях. На них мы и остановимся коротко в этом параграфе.
В первую очередь - это отступления от закона Ома, т. е.
