Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
сложных задач теории явлений переноса, поэтому мы здесь
рассмотрим лишь основные вехи расчета для наи-
271
более простого случая - рассеяния электронов на ионах примеси.
Анализ рассеяния электронов на ионах примеси при известных
допущениях можно проводить по классической схеме, т. е.
рассматривая электрон как точечный заряд е с массой т,
движущейся в поле другого неподвижного заряда - иона, масса
которого много больше массы первого (см. рис. 5.1). При этом для
вычисления времени релаксации мы воспользуемся формулой
(5.34):
Зависимость угла отклонения 0 от прицельного расстояния Ь
была выведена впервые Резерфордом (для анализа рассеяния а-
частиц):
где х-диэлектрическая постоянная среды; следовательно,
согласно (5.77)
Таким образом, вероятность того, что электрон отклонится на
угол 0, свелась к определению вероятности того, что он пройдет на
расстоянии b от иона. Последнюю же можно приближенно оценить
как отношение площади кольца dS = 2яbdb к площади окружности,
очерченной радиусом, равным среднему расстоянию между ионами
(S = = яа2/4), умноженной на число таких "столкновений" в
единицу времени, т. е. via.
Таким образом,
(5.77)
в
где заменим
1 - cos 0 = 2 sin2 = -.
l + ctg2-J-
(5.78)
1 - COS (c) = ( , 2 2h\
V vx ) t ^ / xmv2b \
xmv2b \ 2
v 2nbdb _ 4v_
а яаг/4 a3
= -^-2b db.
(5.79)
272
Подставив (5.79) в (5.77) и заменив сумму интегралом,
мы можем теперь получить явное выражение для т-1:
а
тГ1 = -^ 2bdb2 (5.80)
или после интегрирования
T'i = ^?-2?Wln Г 1 \ =
a3 x2m2i;4 L ха/2 J
-Ч-ШЧ'+Ш]' <5-81>
где е = ти2/2 -кинетическая энергия электрона и ег =
= е2/(иа/2)- потенциальная энергия электрона в поле
иона при максимальном прицельном расстоянии.
Таким образом,
а ( 2е \2 г 1
Т" 2v ( е,- )
In
(5.82)
и длина свободного пробега
l = xv та А&2, (5.83)
где А - величина, которую в первом приближении можно считать
постоянной (выражение, стоящее под знаком логарифма, можно в
первом приближении считать постоянным, так как логарифм -
слабо меняющаяся функция).
При выводе формул (5.82) и (5.83) мы сделали ряд упрощающих
предположений:
- пренебрегли всеми квантовыми эффектами (это возможно,
когда е > ег);
- не учли экранировку поля ионов свободными электро-
нами, что допустимо при малой концентрации последних;
- считали, что рассеяние около каждого иона происходит
независимо, в действительности же, если построить из ионов
правильную решетку, то они вообще перестанут быть
рассеивающими центрами (а лишь изменят энергетический спектр
электрона);
- заменили кристалл непрерывной средой с диэлектри-
ческой постоянной я, что справедливо при малой концентрации
ионов и не слишком большой диэлектрической постоянной.
18-1053
273
Поэтому полученный нами результат имеет ограниченную область
применений; тем не менее он очень важен, так как в ряде случаев
дает картину явлений, правильную не только качественно, но и
количественно.
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА ТЕПЛОВЫХ
КОЛЕБАНИЯХ РЕШЕТКИ
Этот случай значительно более сложен и может быть рас-
смотрен последовательно только квантовомеханическим путем.
Схема расчета качественно сводится к следующему. Мы уже
упоминали, что в идеальном кристалле (при строго периодическом
поле) зонные электроны описываются незатухающими
модулированными плоскими волнами. Это значит, что длина
свободного пробега электрона при этих условиях бесконечна,
модулированные волны
г|>! = ut (г) е2я"кir-vif), = и2 (г) e2jli<l?2r-v2o (5.84)
распространяются беспрепятственно по всему кристаллу, ве-
роятность рассеяния, т. е. перехода одной волны в другую, равна
нулю. Причиной рассеяния могут явиться любые нарушения
периодического потенциала (заряженные и нейтральные примеси,
точечные, линейные, плоские и объемные дефекты и, наконец,
тепловые колебания), так как если мы их включим в уравнение
Шредингера, то решения типа (5.84) перестанут быть
стационарными. В данном случае нас интересует рассеяние на
тепловых колебаниях, т. е. мы должны вычислить вероятность
перехода из одного электронного состояния в другое под действием
нарушения периодического потенциала ДК = Уд - V" (индексами
"д" и "и" обозначены потенциал деформированной и идеальной
решеток), вызванного смещением атома из положения равновесия
на величину и. Таким образом, в нашем случае возмущающий
потенциал
ДУ"Уд(г)-Уи(г). (5.85)
Вероятность такого перехода пропорциональна квадрату
матричного элемента возмущения:
w-[(AV)1(2]2 = | ^ 0iAV02du , (5.86)
где Ф4 и Ф2 - волновые функции системы до и после перехода; так
как в процессе рассеяния меняется не только
274
электронное, но и фононное состояние, то в Ф должны быть
включены волновые функции электронов и фононов:
Ф1>2= k(0e2nikrll^]i,a, (5.87)
где фддг - фононные волновые функции, описывающие
нормальные колебания решетки; смещения атомов и соот-
ветственно ДУ должны быть также разложены по нормальным
