Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
электроны в разных слоях не обмениваются энергией друг с
другом? Дело в том, что соударения являются все же почти
упругими, и поэтому обмен энергией все же происходит, но
значительно медленней (т. е. со значительно большим временем
релаксации), чем обмен импульсами. К этому надо добавить, что
межэлектронные столкновения, когда они происходят в
достаточном количестве, значительно ускоряют установление
равновесного распределения по энергиям.
Мы покажем, что для упругих соударений время релаксации
вводится строго; в ряде других случаев этот метод решения
кинетического уравнения не может быть строго обоснован, но тем
не менее он дает хорошие результаты.
Если учесть, что - f - f0 есть малое изменение функции
распределения, то мы можем разложить его в ряд по v и
ограничиться первыми неисчезающими членами. Так как поле
направлено по оси х и функция f смещена и деформирована по оси
vx, то очевидно, что в первом члене должно быть vx в первой
степени, a vy и vz - не ниже второй, так как функция
распределения должна сохранять симметрию по этим осям; иными
словами, Д может быть только функцией vx и энергии. Таким
образом,
268
в этом приближении
fi(vx) = vxx(e), (5.61)
где 1 (е) - пока неизвестная функция энергии.
Далее, учитывая (5.61) и то, что соударения упругие (рис. 5.3),
получим
/(v') = uix(e) = yKcos0x(e). (5.62)
Предположим также, что вероятность рассеяния является
только функцией от угла:
(r)(v, v') = да(@).
Подставляя /(v) и /(v') в интеграл столкновений
(5.57) , получаем
(!г)столкн= Wv' v ) ^(е) v* (1~ cos 6) dG (v'). (5.62a)
Так как •интегрирование происходит по v' и при е = const, то
можно x(e)y* = /i вынести за знак интеграла; таким образом,
получаем
(¦3rL," = b \ v')(1 -COS6)dG(v')- (5.63)
Интеграл в (5.63) в точности соответствует выражению для
обратного времени релаксации (5.39):
т_1 = ^ w (v, v') [1 - cos (v, v')] dO (v'), (5.64)
следовательно,
= L. (5.65)
V ot / СТОЛКН XX '
Таким образом при сделанных нами предположениях можно не
только ввести время релаксации, но и получить для него явное
выражение (5.64).
Подставляя (5.65) в (5.59) (и опуская для простоты индексы k),
получаем явное выражение для /4:
М1)" о""*-1 [>/. + ^<ЕУА)1. (5.66)
Учитывая, что
v ,h = ¦§¦ VT+^ ^ _ ¦§¦[ if V т - V|1 ]
269
и
Vv^o==4rmv и Е=-?ф.
после простых преобразований получаем
/I = T [-^Vr-V^-вф)] ^^. (5.67)
5.3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
Знание неравновесной функции распределения позволяет
вычислить все кинетические коэффициенты: электро- и
теплопроводность, термоэлектрические коэффициенты (Зеебека,
Пельтье и Томсона), коэффициенты гальвано- и термомагнитных
явлений. Оставив изучение двух последних классов явлений на
будущее (что мы вынуждены сделать, так как исключили из
кинетического уравнения члены, содержащие магнитное поле),
напишем выражение для плотностей электрического тока и потока
энергии при отсутствии магнитного поля:
} = env==e ^ vfidG(e) (5.68)
ы •
и
q = zn\= ev/j dG(e). (5.69)
Если считать, что время релаксации существует, то можно
сразу же написать феноменологические выражения (5.67) для fi и
(5.66) и (5.63) для плотностей тока и потока энергии. Таким
образом, весь вопрос сводится к нахождению выражения для
времени релаксации. Так как согласно (5.67) является линейной
функцией градиентов потенциала и температуры, то
электрический ток и поток энергии должны быть линейными
функциями от этих параметров. Поэтому в самом общем виде
можно написать
j - LEE^ LET^T (5.70)
и
cj = ЬТЕЛ ф- L'fj'VT't (5.71)
где все L - кинетические коэффициенты, подлежащие
определению.
270
По определению, коэффициент пропорциональности между
напряжением и током при УГ = 0 называется электропроводностью
а, следовательно,
о - LEE. (5.72)
Коэффициент термо-э. д. с. а измеряется при наличии
градиента температуры и отсутствии тока (по существу, это
является определением термоэлектродвижущей силы). Таким
образом, приравнивая в (5.70) j нулю, находим
E=--^V7\ (5.73)
LEE
следовательно,
а = ~^ . (5.74)
-ЕЕ
Коэффициент теплопроводности измеряется также при
отсутствии тока в цепи. Подставив Е, соответствующее / = 0, из
(5.73) в (5.71), находим
q=(_i^,+irr)VJ, (5_75)
Следовательно, удельная теплопроводность
% = Ltt-±??Let-. (5.76)
LEE
Аналогично можно получить феноменологические выражения
для коэффициентов Пельтье и Томсона. Для того чтобы получить
конкретные выражения для всех перечисленных выше
кинетических коэффициентов, необходимо подставить в (5.68) и
(5.69) выражения для /( и провести интегрирование по энергиям. Но
для проведения этой программы мы должны получить зависимость
времени релаксации т от энергии в явном виде - следующий
параграф и посвящен рассмотрению этого вопроса.
5.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ РАССЕЯНИЕ
НА ИОНАХ ПРИМЕСИ
Вычисление времени релаксации является одной из наиболее
