Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Avw (v, v') = o [1 -cos (v, v')] w (v, v').
(5.31)
(5.32)
или
(5.33)
e
где
0 = Z(v, v').
1
(5.34)
Av 2 0 - cos &)",(&)
0
или
(5.35)
0
Ak - k [1 -cos (k, k')].
Если w (0)-число столкновений, вызывающих отклонение
электрона на угол 0, то время между такими столкновениями
т(в)^__; таким образом, формулу (5.37) можно записать
и в следующем виде:
1
г(к)=%{1~С05в)ЧЩ- (5-38)
Выражения (5.36) и (5.37) могут быть написаны и в интегральной
форме, например:
7^-= § w (к- к') [1 -cos (k, к')} dk'. (5.39)
к'
Формула (5.38) является обобщением (5.7) с учетом того, что
столкновения определенного сорта не обязательно приводят к полной потере
скорости *>.
Если ввести для каждого вида столкновений эффективное время
свободного пробега и определить его следующим образом:
то (5.38) примет вид, совершенно аналогичный (5.7):
J-=V _L.
Тэф *Эф i
(5.40а)
Соотношения (5.38) и (5.39) все еще не являются строгими и точными
- в них не учтено то обстоятельство, что для различных типов
столкновений время свободного пробега электрона по-разному зависит от
его энергии. Учет энергетической зависимости т (е) и вычисление средних
значений с учетом этой зависимости и является задачей следующих
параграфов.
5.2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ (УЧЕТ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВРЕМЕНИ
РЕЛАКСАЦИИ)
В самом начале этой главы мы убедились в том, что
неправильный учет статистического разброса времени релаксации
сразу же приводит к ошибке в абсолютном значении подвижности в
2 раза.
Еще к более серьезным последствиям может привести неучет
(или неправильный учет) энергетической зависимости
*) Если мы положим средний угол отклонения 0 = 90° (что и означает
полную потерю направленной составляющей скорости), то (5.38) сразу же
переходит в (5.7).
260
времени релаксации, так как этой зависимостью определяется
температурный ход подвижности, зависимость подвижности от
степени вырождения (концентрации носителей) и от характера и
числа рассеивающих центров.
Выше мы уже упоминали, что при рассеянии на тепловых
колебаниях и на ионах примеси зависимость времени релаксации
от энергии электронов имеет совершенно различный характер. В
первом случае, чем больше энергия (и волновой вектор) электрона,
тем с большим числом фононов он может взаимодействовать и,
следовательно, тем больше число соударений и меньше длина и
время свободного пробега, во втором - чем больше энергия и
скорость, тем меньше электрон отклоняется в поле иона, тем мень-
ше cos в в формуле (5.38) и тем больше, следовательно,
эффективное время релаксации.
В дальнейшем нам предстоит рассмотреть конкретно время
релаксации для каждого механизма рассеяния отдельно, сейчас же
мы предположим, что вид зависимости т (е) уже известен, и
посмотрим, как вычислить т (е), т. е. произвести усреднение по
всем энергиям. Казалось бы, что вопрос решается просто:
\х (e)rfn(e) т^-1 (5.41)
) dn (е)
где dn (г) - число электронов с данной энергией, определяется
плотностью состояний dG(e) и функцией распределения Ферми /о
dn (в) = /о (е) dG (е), (5.42)
но в действительности формулы (5.41) и (5.42) в данном случае
неприменимы. В самом деле, ведь нас интересует среднее значение
времени релаксации для электронов, участвующих в
электрическом токе jx *>, а следовательно, и усреднение надо
проводить соответствующим образом:
| т (е) djx (е) _ j т (е) u* dn (е) ,г. лч\
X - --- - ,
(0.4и)
I dix (8) I vx dn (е)
так как djx = evxdn и jx - e\^vxdn, и при этом инте-
*) Поскольку везде будем рассматривать ток, проходящий через 1 см2
поперечного сечения, то мы не будем делать различия между плотностью
тока [ и током 1.
261
грирование необходимо вести не по энергиям, а по скоростям.
Нетрудно убедиться, что если мы воспользуемся для
dn выражением (5.42), то получим в числителе и зна-
менателе (5.43) нули. Это и неудивительно: ведь функ-
ция Ферми именно и характеризует равновесное распре-
деление электронов, в котором все макроскопические то-
ки и потоки отсутствуют.
Равновесная функция рас-
пределения электронов по
скоростям для двух случа-
ев: вырожденного электрон-
ного газа р > 0 и невырож-
денного р < - 2 пред-
ставлена на рис. 5.4. В
обоих случаях она симме-
трична относительно оси
ординат: dn (vx)=dn (-vx),
и никакой ток в этих усло-
виях не может существо-
вать. На этом же рисунке
показано изменение функ-
ции распределения под дей-
ствием электрического по-
ля.
Электрический ток при
наличии разности потенциа-
лов возникает в результате
того, что функция распре-
деления в этом случае "де-
формируется", это проил-
люстрировано рис. 5.4, в, где
для определенности рас-
смотрен случай невырож-
денного электронного газа.
Рассмотрим состояние электронного газа при наличии
разности потенциалов более подробно. Под действием
электрического поля (рис. 5.4, в) все электроны получают
