Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
носителей. Поэтому (а также потому, что рассмотрение неупругих
процессов весьма сложно) мы их в дальнейшем учитывать не будем
и будем считать, таким образом, что наиболее важные для
рассеяния электронов столкновения (с тепловыми колебаниями и
примесными атомами) являются почти упругими. Из проведенных
выше выкладок следует, что при расчете времени, длины
свободного пробега и подвижности можно пренебречь изменением
абсолютной величины скорости и квазиимпульса электрона. Но из
этого отнюдь не следует, что такое пренебрежение правомерно при
анализе всех процессов. Как уже упоминалось выше, при движении
в электрическом поле электроны непрерывно увеличивают свою
кинетическую энергию, и для поддержания теплового равновесия
необходимо, чтобы существовал механизм "сброса" этой
избыточной энергии.
Анализ, проведенный выше, показывает, что обмен энергией
между электронами, с одной стороны, и акустическими тепловыми
колебаниями, с другой, весьма затруднен, но все же он происходит
и именно он обеспечивает сохранение теплового равновесия между
электронным газом и кристаллом в целом при отсутствии более
эффективных (неупругих) столкновений.
Впрочем, при достаточно сильных полях электрон настолько
быстро набирает энергию, что не успевает отдавать ее решетке, и с
этим связан целый ряд весьма интересных явлений (зависимость
подвижности и концентрации носителей от поля и др.), которые мы
рассмотрим в конце этой
*) Различное влияние разного вида соударений на различные процессы
приводит к тому, что показатель степени г в зависимости длины свободного
пробега электрона от его энергии может быть неодинаковым в различных
кинетических коэффициентах.
17-1053
257
гЛайы. Пока же отметим, что в обычных условиях электрон при
столкновениях с акустическими фононами приблизительно во сто
раз медленнее теряет свою избыточную энергию, чем свой
направленный импульс. При этом не каждое столкновение
приводит сразу же к потере направленного импульса; анализу этого
важного уже сейчас для нас вопроса посвящен следующий раздел.
БОЛЕЕ ТОЧНЫЙ ПОДСЧЕТ ПОТЕРИ НАПРАВЛЕННОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СКОРОСТИ
В начале этой главы мы предположили, что каждое столкновение
приводит к полной потере направленной (вдоль поля) составляющей
скорости, т. е. что направление скорости электрона после столкновения
совершенно не зависит от направления скорости до столкновения. В
действительности это не всегда так. Например, при
Рис. 5.3. Изменение направлен-
ной составляющей скорости элек-
трона при упругом рассеянии.
рассеянии электрона на примесном ионе (см. рис. 5.1) угол отклонения
электрона 0 зависит от прицельного расстояния & и от скорости электрона
(чем медленней движется электрон, тем больше времени он находится вблизи
иона и тем сильнее отклоняется), от массы электрона и диэлектрической
постоянной кристалла.
Из проведенного выше рассмотрения взаимодействия электронов с
фононами следует, что угол отклонения электрона также зависит от
импульса (волнового вектора) фонона. Внесем соответствующее обобщение в
понятие времени релаксации.
Предположим, что электрон до столкновения имел направленную вдоль
поля скорость v и при столкновении отклонился на угол 0 (рис. 5.3) (будем
считать, что абсолютное значение скорости при этом не изменилось -
столкновение упругое). Так как при этом скорость электрона по абсолютной
величине не изменится (столкновение упругое), то мы найдем время
релаксации лишь для установления равновесия электронов в пределах
определенного шарового слоя в пространстве импульсов (т. е. для
электронов с заданной по абсолютной величине скоростью). В дальнейшем
нам еще предстоит провести усреднение по энергиям.
В результате столкновения направленная составляющая скорости vx
уменьшится на величину
Av = v [1 - cos (v, v')]. (5.30)
258
Если вероятность такого столкновения (или, Точнее, число таких
столкновений в 1 сек) w(\, v'), то соответствующее уменьшение скорости за 1
сек будет
Для того чтобы получить полное уменьшение скорости за 1 сек, мы
должны просуммировать (или проинтегрировать) выражение (5.31) по
всевозможным столкновениям, соответствующим отклонениям на разные
углы:
Если за одну секунду направленная составляющая скорости v
уменьшается на величину Av, то время, необходимое для ее полного
исчезновения, будет v/Av; это время мы будем в дальнейшем считать
эффективным временем свободного пробега или временем релаксации т.
Таким образом,
Выражение (5.35) можно вывести точно так же и в волновой форме, т.
е. получить время релаксации не как функцию скорости, а как функцию
волнового числа. Действительно, предположим, что вероятность перехода
электрона из состояния с импульсом к в состояние с импульсом k' будет w
(k, k'); уменьшение направленного импульса при этом
Не повторяя выкладок и рассуждений, приведенных для кор-
пускулярного представления, получим
