Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
кинетической энергией атома до соударения (т. е. положим Го ~ 0).
Тогда законы сохранения энергии и импульса примут вид
УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
но и энергию
с?е = (F dS);
m\v0 - Vi\ =
MTi,
mvl mv\ _
2 2 ~ 2
(5.15)
(5.16)
*) Для вырожденного электронного газа это отношение будет еще
больше.
Из (5.16) находим
ДМ^УД^/ЖГ! (5.17)
и, подставляя Ti из (5.17) в (5.15), получаем
TF-"/?"1- <518>
Соотношение (5.18) показывает, что векторное изменение
скорости электрона во много раз больше, чем такое ее изменение по
абсолютной величине - это и значит, что столкновение почти
упругое.
Этот же результат можно получить в явном виде, получив Vi из
(5.15), подставив его в (5.16) и обозначив угол между v0 и У'1 через
0:
2oocos0= -yi(-?L± l) . (5.19)
Очевидно, что в (5.19) можно пренебречь единицей по сравнению с
М1т; но если читатель возьмет на себя труд проделать
промежуточные выкладки, то он убедится, что эта единица
"происходит" от кинетической энергии атома в (5.16), иначе
говоря, мы тем самым предполагаем соударение упругим. Полагая
в (5.19) cos 0 = 1, получаем
Гмако = -^р (5.20)
или, в общем случае, так как cos0<l, то
MTi<2mv0. (5.21)
Неравенство (5.21) имеет очень простой физический смысл. Из
закона сохранения энергии следует, что < < v0 *>, следовательно,
максимальное изменение импульса электрона при упругом лобовом
ударе Ар<(/тго0) - - (mv0) = 2mv0. Это и есть максимальный
импульс, который может получать атом (.МТ4). Из (5.21) находим
максимальную энергию отдачи атома:
^маис = 4 М (Гмаке)2 - 4 (-^-) . (5.22)
*) Мы предположили, что скорость атома до столкновения = 0,
следовательно, электрон передает часть энергии атому, и его скорость
после столкновения vt < о0.
252
Выражение (5.22) еще раз показывает, что атом, отобрав у
электрона весь импульс, получает лишь ничтожную часть его
энергии.
Полученные соотношения характерны для столкновений
электрона (или любой другой частицы) с более тяжелой частицей
("стенкой") - он охотно отдает импульс, но не может отдать ей (без
возбуждения внутренних степеней свободы тяжелой частицы) своей
кинетической энергии.
Обратные соотношения имеют место при столкновениях
зонных электронов с фотонами видимой и инфракрасной частей
спектра. Импульс этих квазичастиц рф = hv/c очень мал [так как
скорость света много больше (примерно в 106 раз) скорости звука, а
энергия сравнима с энергией электронов], поэтому электрон при
излучении или поглощении такого фотона может легко изменить
свою энергию, но всегда появляются трудности со "сбытом"
импульса. Отсюда возникают правила отбора или необходимость в
участии третьей частицы - примесного атома, фонона или др.
Рентгеновские и еще более жесткие фотоны являются уже более
"тяжелыми" частицами, так как их энергия и соответственно
импульс во много раз больше, поэтому они могут взять на себя и
импульс электрона.
К вопросу о взаимодействии электрона с излучением мы
вернемся позднее (см. гл. 9), а теперь рассмотрим столкновение
электронов с акустическими фононами. Для этого опять напишем
законы сохранения энергии и импульса электрона, но на этот раз
выразим энергию электрона через его квазиимпульс:
Здесь v и hq- соответственно частота и квазиимпульс фонона,
связанные для акустической ветви:
(5.23)
hkt = hk0 ± hq.
(5.24)
(5.25)
где Шф -фазовая скорость фонона (скорость звука).
Определив к! из (5.24), подставив его в (5.23), после простых
преобразований получим соотношение, совершенно
аналогичное (5.19):
q=^2k0cosQ , (5.26)
где 0 -угол между к0 и q.
Второй член в правой части (5.26) происходит от энер-
гии фонона (hv) в (5.23); покажем, что при обычных
условиях он мал и что, следовательно, столкновения
электронов с фононами также являются упругими. Для
этого оценим отношение этого члена к q:
hq v0 hq ' >
(Правая часть выражения (5.27) отличается от левой тем,
что мы умножили и разделили ее на скорость электрона
и таким образом получили отношение импульсов.) Для того
чтобы рассеяние было эффективным, необходимо, чтобы
импульс фонона был одного порядка с импульсом элек-
трона *>. Следовательно,
mvo ^ 1 " mvo ~ wo
1 и 1.
. 1 и . -
hq hq v0
Так как фазовая скорость упругих волн в обычных полу-
проводниковых кристаллах w0 " 10б смIсек, а средняя скорость
теплового движения электронов при комнатной температуре у0 ^
Ю7 см/сек, следовательно, при обычных условиях второй член в
(5.26) очень мал по сравнению с q и им можно пренебречь, т. е.
столкновение с фононом также является почти упругим и согласно
(5.26)
q л; Т 2k0 cos 0. (5.28)
С другой стороны, из (5.26) следует, что при достаточно низких
температурах (т. е. таких, при которых и0 " wo) столкновения
электронов с фононами перестают быть упругими - фонон
перестает быть "тяжелой частицей" по сравнению с электроном
**>.
*) Из (5.24) следует, что если q < k0, то kj "= k0, т. е. электрон просто не
