Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
области собственной проводимости: если например, т* с тр, то
даже небольшое число электронов, перейдя из валентной зоны в
свободную, могут заполнить
240
последнюю настолько, что электроны в ней будут в вырожденном
состоянии.
Перейдем теперь к количественному рассмотрению вопроса.
Концентрация носителей тот *>
В общем случае согласно (4.25) и (4.33)
оо со
n=\f(z)dG (в) " ^ (2 тпс)3/2 \ . (4.58)
0 0 е кТ + 1 •
Поделив и умножив правую часть на (kT)s/2, можно
привести интеграл к безразмерному виду
n = -^(2mnckT)3/*Flh(li*), (4.59)
где Fi/2(|i*) - так называемый интеграл Ферми:
= \ t'J* , (4-60)
ое 4*
х -приведенная (безразмерная) энергия x = elkT и р" -
приведенный химический потенциал р* = р/&7\ Интеграл Ферми
Ft (р*) для целочисленных и полуцелочисленных значений i
протабулированы (см. приложения).
В случае, если электронный газ не вырожден, е30-^ > 1, и
единицей в (4.60) можно пренебречь, выражение (4.60) легко
интегрируется (см. выше).
В случае полного вырождения (Т = 0)/=1 прилг-<р* и / = 0 при
В соответствии с этим
п " 2^-plaKClh3 = -^ (2щПсРо)3/г, (4.61)
где р0- значение уровня химического потенциала при абсолютном
нуле; рмакс = 1^2/лр0 -граничное значение квазиимпульса.
Физический смысл (4.61) очевиден -все электроны при
абсолютном нуле размещаются внутри сферы
*) Все рассуждения в этом параграфе мы проводим на примере
электронов, однако все здесь сказанное в равной мере относится и к дыркам.
16-ЮоЗ 241
радиуса рМакс> согласно (4.61)
2 тпс
/ Зп_ \
а/а
[ 8л ) •
(4.62)
В случае сильного (но не полного) вырождения (металл при
температуре, отличной от абсолютного нуля) выражение (4.60)
может быть приближенно вычислено интегрированием по частям
(11]:
Формула (4.35) дает удовлетворительную точность ("5%) при
р*<!-2, формулы (4.63) и (4.64) -при р*>10; при
промежуточных значениях - 2-<р*<;16 следует пользоваться
(4.59) и протабулированными значениями FI/2 (р).
Согласно (4.35) при отсутствии вырождения
Иногда (главным образом в старых книгах) величину И = h3nl2
(2nmkT)3/2 называют критерием вырождения, имея в виду при
этом, что при пС 1 ир*-<0 электронный газ не вырожден, а при
т] > 1 и р*>0- частично вырожден.
Этим критерием можно пользоваться лишь для весьма грубых
оценок; в частности, следует заметить, что сама формула (4.65) при
р* = 0 дает ошибку в определении р* " 30%.
Полная энергия электронов в зоне проводимости
%=\ef(e)g (е) de = i?- (2mnc)3/2 kTF,/t (p*); (4.66)
и
(4.64)
средняя
e =
=
% ЪТ
n
(4.67)
242
В случае невырожденного электронного газа
с"
х3'гегх dx
s - kT
о
(4.68)
оо
I jcl/ae-3C dx
о
Таким образом, средняя кинетическая энергия электронов в
невырожденном полупроводнике выражается точно такой же
формулой, как кинетическая энергия одноатомных молекул газа.
В случае полного вырождения согласно (4.67) е = 3/5р0 и в
случае сильного, но не полного вырождения (р* > 10)
В промежуточных случаях - 10 следует поль
зоваться формулой (4.67) и таблицами интегралов Ферми (см.
приложение).
(4.69)
5
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
До сих пор мы изучали поведение полупроводников в условиях
равновесия: в третьей главе был рассмотрен энер,- гетический
спектр электронов, в четвертой главе - их статистика, т. е.
расселение по энергетическим уровням, во второй -
соответствующие вопросы по отношению к фо- нонам.
Все последующие главы связаны с поведением электронов в
неравновесных условиях. Важную часть этого круга вопросов
составляют так называемые явления переноса, т. е. ряд явлений,
обусловленных электрическими и тепловыми потоками,
возникающими в среде при наличии электрических, тепловых и
магнитных полей. Сюда относятся электро- и теплопроводность,
термоэлектрические, гальвано- и термомагнитные явления. При
этом предполагается, что концентрация носителей остается
равновесной или почти равновесной *> (хотя она и может меняться
от точки к точке при наличии градиента температуры) таким
образом, что ее изменения не откладывают заметный отпечаток на
картину явлений. Поэтому, рассматривая явления переноса, мы
исключаем контактные явления, в которых нарушение
концентрационного равновесия играет существенную роль.
Обычно явления переноса (или по крайней мере их теория)
изучаются в стационарных условиях. Полученные результаты
потом без труда обобщаются на случай переменных (но не слишком
быстро меняющихся) полей.
*) Исключением являются явления в сильных электрических полях (см.
ниже).
244
Изучение явлений переноса (или, как их также называют,
кинетических эффектов) мы начнем с самого упрощенного,
качественного подхода, а затем введем некоторые уточнения.
5.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ РАСЧЕТ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ПОДВИЖНОСТИ
Как уже упоминалось в предыдущей главе, в состоянии
равновесия все свободные электроны участвуют в беспорядочном
