Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
^ € _ (4<48)
Термин "высокие температуры" здесь следует принимать
лишь в смысле выполнения неравенства (4.48)" но мы по-прежнему
будем предполагать, что собственная проводимость еще не играет
существенной роли. Учитывая (4.48) и разлагая радикал в
выражении (4.43) в ряд, получаем
p~kT In Ndh3 (4.49)
2 (2nninkT)3/*
Согласно (4.48) и (4.49) в этом интервале температур уровень
химического потенциала уже спустился ниже донорных уровней, и,
следовательно, почти все они должны быть пусты.
Действительно, подставляя (4.49) в (4.35), получаем
n - Nd,
т. е. все (или точнее почти все, так как мы все время пользуемся
приближенными формулами) электроны перешли в зону
проводимости. Концентрация электронов проводимости
вэтоминтервалетемператур будет оставаться постоянной, что
соответствует горизонтальному участку кривой рис. 1.7.
Заметим в заключение, что совершенно аналогичные выводы
можно получить для примесного дырочного полупроводника. В
этом случае в области низких температур
р' kTln NahZ зТ- (4.50)
г 2 2 (2яmpkT)3/i v '
233
где Д$2 - энергия, необходимая для заброса электрона из
заполненной зоны на акцепторный уровень, т. е. уровень
химического потенциала проходит примерно посредине между
верхним краем валентной зоны и акцепторным уровнем (рис. 4.2).
При этом концентрация дырок меняется экспоненциально:
p_№)v,"^e-#. (4.51)
В области более высоких температур уровень химического
потенциала поднимается выше акцепторных уровней, и все они в
силу этого оказываются забитыми электронами, а число дырок в
заполненной зоне становится постоянным:
p=Na.
При дальнейшем подъеме температур и в случае электронного
и в случае дырочного полупроводника основную роль начинает
играть собственная проводимость.
ОБЛАСТЬ СОБСТВЕННОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Рассмотрим теперь второй предельный случай, т. е.
предположим, что число перебросов электронов из заполненной
зоны в свободную очень велико и по сравнению с этим примесные
электроны играют второстепенную роль. Тогда мы можем принять
п = р. (4.52)
Подставляя (4.35) и (4.36а) в (4.52), получаем
(1=_зд,+|_4Г1П^1 (4.53)
т. е. если тп " тр уровень химического потенциала проходит
приблизительно посредине запрещенной зоны. Подставляя (4.53) в
(4.35) и (4.36а), найдем концентрацию электронов и дырок:
2(2яУздйГ)3/2 --|§- = p = е 2кТ ¦ (4.54)
234
В полулогарифмическом масштабе
1пп = / (-^) ,
(4.55)
Inn = In А - ,
(4.56)
где А приблизительно постоянно, таким образом, (4.56) изобразится
прямой с наклоном AM0l2k.
Остановимся коротко на термине "вырождение", который в
теоретической физике имеет свой особый смысл.
Вырожденными в квантовой механике называются системы,
энергия которых не зависит от какого-либо параметра. Если при
каких-либо изменениях в условиях существования системы ее
энергия начинает зависеть от этого параметра, то мы говорим, что
"вырождение снимается".
В водородном атоме, т. е. при кулоновской зависимости
потенциальной энергии от расстояния до ядра (U = -е2/г), энергия
электрона не зависит от эксцентриситета орбиты (орбитального
квантового числа /), а зависит только от размера ее большой
полуоси - главного квантового числа п. Все подоболочки: р, d, /,
s, внутри одной оболочки вырождены, т. е. имеют одну и ту же
энергию. В более сложных атомах поле других электронов
экранирует поле ядра; поэтому по мере удаления от ядра
потенциальная энергия убывает быстрее, чем в атоме водорода. В
непосредственной близости от ядра U = -гег/г постепенно убывает
до U" = - е2/г на больших расстояниях. Поэтому энергия
валентных электронов тем меньше (или энергия связи тем больше),
чем ближе данная орбита подходит к ядру. Таким образом, в
результате взаимодействия электронов друг с другом вырождение
снимается, энергия подоболочек в порядке возрастания
располагается в следующей последовательности: s, р, d, /.
Второй тип вырождения, имеющегося в любом атоме, так
называемое ориентационное. Благодаря шаровой симметрии
атомного потенциала энергия электронов на всех
4.4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В ЗОНЕ
ПРОВОДИМОСТИ, ВЫРОЖДЕНИЕ
ВЫРОЖДЕНИЕ в АТОМЕ
235
орбитах одной подоболочки одинакова независимо от их
ориентации. Этот тип вырождения снимается при наличии
магнитного поля (эффект Зеемана) или электрического поля
(эффект Штарка) и, в частности, периодического поля в кристалле.
ВЫРОЖДЕНИЕ В КРИСТАЛЛЕ
В системе из большого числа N одинаковых невзаимо-
действующих (т. е. достаточно удаленных друг от друга) атомов
для электронов существует так называемое трансляционное
вырождение - в силу трансляционной симметрии энергия
электрона не зависит от того, на каком из атомов он (электрон)
находится. Таким образом, каждый атомный уровень становится
W-кратно вырожденным.
Энергия системы не зависит также от того, какой атом
возбужден, ионизован и т. д.; таким образом, все возбужденные
состояния кристалла также вырождены. Если расстояние между
