Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
1
Отношенйе чйсЛа Элейтрбной rt; с Энергией ej к общему числу
состояний с данной энергией gt называется функцией
распределения Ферми и обозначается ft. Иными словами, ft - это
вероятность того, что состояние с энергией ег занято электроном.
Напротив, вероятность того, что данное состояние свободно, будет
Я = 1-/".
В статистической физике доказывается, что введенная нами
постоянная р* связана с химическим потенциалом р соотношением
р = n*kT или р* = • (4.24)
В соответствии с этим величина р* называется приведенным
химическим потенциалом (р* есть безразмерный химический
потенциал, выраженный в единицах kT). Аналогично величина х =
е/&Г называется приведенной энергией электрона. В дальнейшем
мы будем индекс i опускать, так как / не зависит от введенной
нами произвольной нумерации состояний, а целиком определяется
энергией данного состояния е.
Итак, мы доказали, что вероятность того, что состояние с
энергией е занято электроном, выражается формулой
/ = • (4-25) *>
ehT +1
4.3. СТАТИСТИКА НЕВЫРОЖДЕННОГО
ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
В первой главе уже упоминалось, что общее число состояний в
свободной зоне твердого тела составляет примерно 1022 (на 1 см3).
Число же свободных электронов в полупроводниках колеблется
обычно в пределах 1012- 1018 см~3. Это значит, что в отличие от
металла доля занятых состояний в полупроводнике обычно
ничтожно мала или, иными словами, обычно / -С 1 для всех
электронных состоя-
*) В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что / - это
равновесная функция распределения, мы будем отмечать ее индексом 0.
226
Ний, включая самые нйжнйе, прйМыкаюЩиб ко дну зоны * (мы в
дальнейшем для удобства примем нуль отсчета энергии
совпадающим с дном свободной зоны, т. е. для этих
электронов будем считать е = 0). Но если f < 1, то это
е-pi
значит, что знаменатель (4.25) 1 + е кТ >1 или > 0,
т. е. уровень химического потенциала проходит значительно ниже
дна зоны. В этом случае для всех состояний в зоне проводимости
мы можем пренебречь единицей в знаменателе выражения (4.25) и,
следовательно,
и-е
/ " е АТ . (4.26)
Приближенное выражение (4.26) называется распределением
Максвелла - Больцмана. Такое состояние электронного газа, в
котором f < 1 и которое описывается приближенной формулой
(4.26), называется невырожденным. Мы увидим несколько позже,
что в этом случае в отличие от вырожденного состояния средняя
энергия электронов растет пропорционально температуре (и это
является одним из основных признаков отсутствия вырождения).
Замена точного выражения для функции распределения (4.25)
приближением (4.26) значительно упрощает все расчеты, целый
ряд вычислений в этом случае можно в общем виде довести до
конца.
Подсчитаем сначала число электронов в зоне проводимости
полупроводника, энергии которых находятся в интервале е, е + йг.
Для этого мы должны умножить число состояний в этом интервале
g (е) d (е) на вероятность их заполнения f:
dn = / (е) g (е) йв. (4.27)
Мы знаем, что общее число состояний в любой зоне кристалла
(объемом 1 см3) равно числу атомов Л/0, умноженному на
кратность ga атомного уровня, образовавшего данную зону;
следовательно,
g(e)de = gaN 0, (4.28)
%
*) Бывают, впрочем, случаи, когда условие f С 1 Для самых нижних
уровней зоны и в полупроводнике не выполняется, такие полупроводники
называются вырожденными (см. ниже).
15* 227
где ?i и %г - энергия нижнего и верхнего края зоны, но
конкретный вид самой функции g (е) нам неизвестен.
Нахождение точного вида этой функции является очень
сложной задачей. Однако если учесть, что функция распределения
/ очень круто спадает по мере удаления (вверх) от дна зоны
проводимости, то мы можем удовлетвориться знанием величины g
(е) вблизи дна зоны. Для таких значений энергии интересующая
нас функция относительно легко вычисляется, как мы это уже
делали для фононов:
dN = g(s)de = 8-^-. (4.29)
Выражая в (4.29) импульс через энергию р = "(/г2т"е и pdp =
mnde, получаем
dN = -^j- (2т")3/г е1/2 de.
Таким образом, в случае одной простой сферической зоны
получаем
S (е) = (2тп)а/2 е1/а- (4.30)
Точно так же можно показать, что в случае анизотропной
эффективной массы
§(е) =4г 23/2 Ущгпгт3г1/2, (4.31)
где mt, m2, m3 - главные значения тензора эффективной массы.
Наконец, в случае нескольких (N) эллипсоидов
g (е) = -^- 23/3N Ymjn3mzz/2 (4.32)
можно все эти случаи объединить в один, если ввести понятие
эффективной массы плотности состояний (mnc) и определить эту
массу соотношением
nine - N2/3 у7 т^тгт3. (4.33) *'
*) Все приведенные выше формулы для плотности состояний верны
лишь для параболических зон, т. е. таких, в которых энергию можно
представить в виде ра/2т, где эффективная масса т = const не зависит от
энергии. За последнее время исследован целый ряд полупроводников (с
узкой запрещенной зоной), в которых это условие не выполняется.
