Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
системы на одну частоту*). В случае квазистати- ческого процесса
dQ = T dS и
d%=TdS-dW + \idN. (4.12)
Величина р в (4.12) называется химическим потенциалом (по
аналогии с электростатическим потенциалом - изменение
электростатической энергии равно произведению
электростатического потенциала на изменение заряда). Вычитая из
левой и правой частей (4.12) дифференциал связанной энергии
d(TS) = TdS+SdT,
получаем
dF= -SdT-dW + pdN. (4.13)
*) Если при этом dQ = 0 (нет обмена теплом), и dW = 0 (не совершается
работа).
222
Из (4.13) следует, что
при dT = 0 и dW = 0, т. е. согласно (4.14) химический потенциал есть
свободная энергия на одну частицу при определенной температуре
(условие Т = const) и определенных значениях внешних параметров
(условие dW = О означает постоянство внешних параметров).
Следовательно,
V = -^ = %-Ts, (4.15)
где Ш - энергия, приходящаяся на одну частицу (т. е. средняя
энергия) и s - энтропия на одну частицу (удельная энтропия *).
В заключение этого раздела остановимся кратко на условиях
термодинамического равновесия. Мы уже упоминали, что для
адиабатически изолированной системы условием равновесия
является максимум энтропии. Для системы, находящейся в
термостате (в изотермических условиях), условием равновесия
является минимальное значение свободной энергии. Последний и
наиболее важный для нас случай (изотермические условия)
позволяет сразу же вывести условия равновесия на контакте двух
тел (полупроводника и металла или двух полупроводников и т. д.).
Обозначим свободную энергию, число электронов и их химический
потенциал для каждого из тел соответственно Ft, Nt, p,j и F2, N2,
p2- Свободная энергия всей системы
F = /ч + F2 = р iN! + Н-2^ 2-
Но отсюда непосредственно следует, что, для того чтобы
свободная энергия всей системы была минимальна, химические
потенциалы электронов в подсистемах pj и р2 должны быть
одинаковы. Действительно, если, например, Pi > р2, то при переходе
электронов из первой системы во вторую F будет уменьшаться и это
состояние не будет равновесным.
*) Равенство (4.15), строго говоря, не является прямым следствием (4.14)
и справедливо лишь приближенно для конденсированных систем - твердое
тело и жидкость, объем которых почти не зависит от давления. Читатель,
желающий познакомиться с этим вопросом более подробно, может обратиться
к любому курсу физической статистики.
223
Выражение (4.13) легко обобщается на случай, когда
рассматриваемые частицы имеют заряд е и находятся в точке с
потенциалом <р. В этом случае
dF= -SdT-dW+(n-ey)dN, (4.13а)
а величина
р -еф (4.136)
носит название электрохимического потенциала.
В случае заряженных частиц условием равновесия является
постоянство электрохимического потенциала (или, иными словами,
равенство его во всех подсистемах или частях системы, между
которыми может происходить обмен частицами).
4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ
После предварительных замечаний, сделанных выше, мы
можем" приступить к отысканию распределения электронов по
энергиям. Предположим, что электроны в нашей системе могут
находиться на различных энергетических уровнях (1, 2, . . ., i, . . .,
т), причем на i-м уровне каждый электрон обладает энергией ег и
всего может разместиться gi электронов, т. е. этот уровень g-
кратно вырожден.
Полная энергия системы будет
т
Ш=^п,еи (4.16)
г-1
где щ - число электронов на i-м уровне.
Задача наша и заключается в том, чтобы найти все /г;.
Условием равновесия для системы, находящейся в термостате,
является минимум свободной энергии:
F = %-TS. (4.17)
Здесь
S=-k 1пш = & 2 1п(r)ь (4.18)*)
где w--вероятность данного распределения электрона по всем
состояниям системы, а - вероятность того,
*) Равенство (4.18) следует из того, что вероятность одновременного
осуществления независимых событий равна произведению их вероятностей:
w = wt и In w = 2 In
224
что nt электронов находятся в i-м состоянии. Но Wi про-
порционально числу способов, которым может быть выбрано nt
занятых мест на данном энергетическом уровне из общего числа
мест gi, т. е. числу сочетаний из gt по nt:
"-"¦aifrUr- <4'19)
Здесь щ - некоторая константа, не зависящая от пг, сле-
довательно, согласно (4.17), (4.18)
т
f-S[",e.-*rin"||(^"|),]+/l, (4.20)
i=l
где
А = - kT 2 1паг.
Можно теперь найти распределение частиц по энергиям в
состоянии равновесия, т. е. определить все пи отыскав минимум
свободной энергии как функцию от пи при дополнительном
условии, что общее число электронов в системе задано:
i=m
^nt = N. (4.21)
i=l
Для этого следует избавиться в (4.20) от факториалов с
помощью формулы Стирлинга
Inп\ жп (Inn - 1)
и воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, т. е.
продифференцировать по п выражения (4.20) и (4.21)
и, умножив одно из них, например (4.21), на
произвольный коэффициент р.*, сложить друг с
другом.
После этого простые преобразования дают
Inli^l-|^ + р* = 0, (4.22)
