Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
2a2 ^ Xy 2L2, (2.95)
2аз Xz ^ 2L3,
*) Свободным мы называем электрон в том смысле, что внутри ящика его
энергия постоянна и на него не действуют никакие силы.
№
где al5 а2 и а3 - постоянная решетки (длина базисных векторов
элементарной ячейки) для этих направлений.
Следовательно, волновое число q колебаний решетки может
изменяться в пределах:
1 1
2а> 4x>2Li ,
2^>9г/>2Ц' (2,Э6^
W3> qi>2L3 •
Приведенные выше соотношения показывают общие черты и
различие электронных и упругих волн; общим у них будет то, что
максимальная длина их одинакова (и поэтому размер элементарной
ячейки обратного пространства в обоих случаях может быть
выбран одним и тем же). Различие - в том, что если минимальная
длина волны решетки ограничена выражением (2.95), т. е. ато-
мистической структурой кристалла, и поэтому все возможные
значения волнового числа умещаются в "довольно большом", но все
же ограниченном ящике обратного пространства (размером 1 /at-1
la2-1 /а3 *\ то размеры волнового вектора электрона на первый
взгляд ничем не ограничены.
В действительности же это различие формально может быть
уничтожено; как мы увидим в дальнейшем, периодический
потенциал кристалла накладывает свой отпечаток и на движение
электрона; это, в частности, проявляется в том, что электрон
описывается волной не с постоянной, а с модулированной
амплитудой:
ф •= А (г) e2jtikr, (2.97)
где А (г) имеет периодичность, равную периоду решетки (или еще
более мелкую), т. е.
А (г + па) = А (г), (2.98)
где а - любой вектор решетки.
Например, если волна направлена вдоль оси х, то
ф = А (х) e27tihxX (2.99)
и
A (x + flj) = А (х).
*) Эту часть обратного пространства мы будем называть основной (или
приведенной).
160
Предположим теперь, что ft* ;> 1 /аи т. е. выходит за, пределы
основной (приведенной) области. В этом случае мы можем разбить
волновой вектор на две части: целую (в единицах 1 /а± ->/z/at) и
дробную-> ft':
ftx = -^- + fti, (2.100)
где fti< 1/fli и, следовательно, уже умещается в основ
ной области.
Подставляя (2.100) в (2.99), получаем
г2яп , ,
ф = А (х)е~хе12якхХ = А' (х)е{2як*х, (2.101)
где величина А'{х) также удовлетворяет условию (2.98),
т. е. ее можно рассматривать как периодически модулированную
амплитуду, a ft' уже ограничено теми же условиями, что и q.
Введение обратного пространства оказывается также
чрезвычайно плодотворным для анализа самого периодического
потенциала решетки, распределения электронной плотности и
любой другой периодической функции в прямом пространстве.
Действительно, любая такая величина, (а следовательно, и
периодический потенциал V) может быть разложена в трехмерный
ряд Фурье:
У(Г) = 2У"1П2Пзехр[2ni(^x + ^y + ^z)] . (2.102)
Совокупность чисел nlt п2 и п3 характеризует точку в обратном
пространстве или вектор обратной решетки с компонентами:
(2Л03>
и разложение (2.102) может быть представлено в виде V (г) = Е V (g)
e2lti<er>. (2.104)
б
Таким образом, любая периодическая функция в прямом
пространстве может быть охарактеризована совокупностью
амплитуд V (g) трехмерного разложения ряда Фурье. Эти
амплитуды характеризуют значения функции V в точках g
обратного пространства. Для того чтобы обобщить развитые выше
представления на косоугольные системы координат и
кристаллические решетки, базисные
J J -1053
161
векторы которых не ортогональны друг другу, Надо базисные
векторы обратной решетки определить следующим образом [9]:
bi = j??al b2 = -^iL и ь3 = -Ц?з1. (2.105)
а1 [а2аз1 а1 1а2аз1 а1 [а2аз1
Если электрон локализован в определенной области (Ах, А у,
Az) прямого пространства, то он описывается уже не
монохроматической волной, а волновым пакетом:
к-Дк
\р(г)= Л /4(fe)e2'Tikr dkx dkydkz. (2.106)
к+Дк
вч.ч!- 1А1-"
Как следует из теории интегралов Фурье. Akx и Ах, Аку и А у,
Akz и Az связаны соотношениями:
AkxAx>l, AkyAy>\, AkzAz>\. (2.107)
Таким образом, чем более определенной становится координата
электрона в прямом пространстве, тем больше расплывается объем,
определяющий его в обратном пространстве. Соотношение (2.107)
непосредственно связано с принципом неопределенности.
Напомним, что импульс электрона связан с его волновым числом
соотношениями:
px = hkx, pv = hky, pz = hkz. (2.108)
Из (2.95) и (2.96) следует непосредственно соотношение
неопределенности
AQAv>h\ (2.109)
где Ай = ApxApyApz и Av = AxAyAz.
Из (2.108) также следует, что пространство импульса
эквивалентно обратному пространству с точностью до множителя
h.
МИЛЛЕРОВСКИЕ ИНДЕКСЫ
Если заданы три базисных вектора, то положение любого узла
решетки характеризуется началом координат и радиусом-вектором
Гщпанз = niai + И2а2 + и3а3, (2.110)
определяющим положение данного узла по отношению к началу
координат. Теперь мы должны найти математическое выражение
для положения кристаллических плоскостей.
IH2
Кристаллической плоскостью мы будем называть любую
