Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
сингониям не учитывает периодической струк-
туры кристалла и в равной мере может быть отнесена к ани-
зотропным средам. Здесь размеры элементарных трансляций имеют
лишь относительное значение: все они могут быть бесконечно
малыми или бесконечно большими. Их взаимное отношение и
расположение характеризуют лишь анизотропию пространства,
поэтому по сингониям (так же как по точечным группам) можно
классифицировать либо конечные ограниченные кристаллы, либо
бесконечный анизотропный континиум.
Решетки Бравэ учитывают дискретную структуру вещества, т.
е. трансляционную симметрию, поэтому некоторые из сингоний
(систем) разбиваются на несколько решеток в зависимости от
расположения атомов в элементарной ячейке. Так, в кубическую
систему помимо простой кубической решетки включается объемно-
центрированная, содержащая два атома в элементарной ячейке, и
гране-центриро- ванная, содержащая в элементарной ячейке четыре
атома.
Как мы уже упоминали выше, все решетки Бравэ являются
формально простыми, т. е. могут быть получены путем трех
элементарных трансляций и, следовательно, элементарная ячейка
может быть выбрана таким образом, чтобы она содержала только
один атом. Однако такой выбор элементарной ячейки будет
неправильным, так как эта ячейка не будет содержать всей
точечной группы симметрии кристалла.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СИММЕТРИИ
РЕШЕТКИ
В соответствии со сказанным выше основным свойством
кристаллической решетки является ее трансляционная симметрия,
характеризуемая тремя базисными векторами: а1; а2 и а3. Это
значит, что при смещении всего кристалла на вектор
an = tii&i -f- n2a2 + я3а3,
где пи п2, п3 - любые целые числа, она совместится с собой. Это
должно также относиться и к любой физической величине,
определяемой однозначно расположением атомов в объеме:
электростатическому потенциалу, электронной плотности и др.
Следовательно, эти величины, в частности электростатический
потенциал V, также должны обладать
151
той же трансляционной симметрией, т. е.
V (г + ап) = V (г).
(2.88)
Это же свойство трансляционной симметрии можно выразить
иначе, воспользовавшись преобразованием координат. Если мы
перенесем начало координат в новую точку таким образом, что
новые координаты R будут связаны со старыми соотношением
r = R±an, (2.89)
и подставим г, выраженное через R согласно (2.89), в V (г), то V (R)
должно быть тождественно с той же функцией новых переменных:
E(R) = E(r). (2.90)
Это же определение преобразованной симметрии можно
распространить на группу вращений. Если в кристалле имеется ось
симметрии n-го порядка, то поворот координат на угол ап ='2яIn
должен приводить к тождественному преобразованию всех
соответствующих функций, т. е.
V (X, Y, Z) Е= V {xi, уи Zi), (2.91)
если X, Y, Z и xit yu zt связаны соотношениями:
X = Xi cos ап-yt sin ап, y = x1sina" + t/1cosan,
(2.92)
Z = zt.
ОБРАТНОЕ ПРОСТРАНСТВО И ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА
Состояние классической частицы характеризуется тремя
координатами х, у, z в обычном классическом пространстве.
Состояние свободного электрона в квантовой механике, как мы уже
упоминали, описывается плоской волной *>:
Tjj (г) = Yуе2ягкг _
= |/AL1L2L3exp[2ni (kxx + kvy + kzz)], (2.93)
*) Мы отбрасываем не интересующий нас здесь временный множитель.
158
где V - LiL2L3 *> - объем прямоугольного ящика, в котором
"заперт" электрон.
Нормирующий множитель перед экспонентой получается из того
условия, что вероятность нахождения электрона во всем ящике
должна быть равна единице:
^ ф (г) ф* (Г) dv = 1. (2.94)
v
Таким образом, состояние электрона целиком характеризуется
тремя величинами: kx, kv и kz, которые имеют размерность обратной
длины (так как показатель степени должен быть безразмерной
величиной). Следовательно, если мы построим пространство с
размерностью, обратной длине, то kx, kv и kz будут определять
координаты какой-то точки в этом (обратном) пространстве и
координаты этой точки будут полностью определять состояние ф (г)
электрона, в то время как координаты его в прямом пространстве
неопределенны (с точностью до объема ящика).
Так как вероятность нахождения электрона на границах ящика
должна обращаться в нуль:
j ф |2 = 0 при x - 0,Lu y - Q,L2 и г = О, L3,
то максимальная длина волны электрона составляет: , ^макс х ^2Z-J, Я-
макс у ~ 2/^2 И ^макс z ^ 2L3, COOTBeTCTBeH- |
но минимальные значения проекций волнового вектора будут:
kx Мин = 1/2Z.J, ky мин = 1/2Z-2, kгМин = I/2Z.3.
Таким образом, обратное пространство мы можем разбить на
ячейки размером 1 /2Lj-1 /2L2-1 /2L3, и состояние электрона - волны
будет характеризоваться точкой в вершине одной из ячеек.
Все сказанное выше об электроне-волне будет относиться к
любой периодической функции координат в кристалле. Например,
любые колебания решетки можно раз-
ложить по трем координатным
осям, причем длина волны
колебаний X может изменяться в пределах:
2aj Хх 2Lj, , j ¦/•¦-
