Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Z") и их комбинаций, может быть бесконечно, поэтому должно быть
бесконечно и число кристаллических классов. В действительности
это неверно: число точечных групп симметрии и равное ему число
кристаллических классов всего 32.
Вывод всех видов симметрии был сделан Гесселем в 1836 г., но
остался не замеченным в мировой литературе, и затем, независимо,
русским ученым А. В. Гадолиным в 1876 г.; этот вывод приводится
во всех учебниках кристаллографии, мы не будем здесь повторять
его, а приведем лишь несколько положений, иллюстрирующих
конечность числа групп симметрии.
1. В кристалле могут присутствовать только оси симметрии
Z1, Z2, Z3, Z4 и Z9 (это следует из периодической структуры
кристалла), плоскость можно заполнить только правильными
треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками. Таким
образом, возникает первый ряд - 5 видов симметрии, содержащих
только одну ось.
2. Плоскость симметрии может быть добавлена либо
перпендикулярно к оси, либо параллельно (если она будет
направлена под углом, это приведет к появлению в результате
отражения от нее новых осей, а мы этот случай пока отбрасываем).
Плоскость, параллельная оси, дает следующий ряд видов
симметрии:
Z4P = P, Z2Pc; Z3Pc, Z4P и ZePc*>.
*) Следует обратить внимание, что любая из этих пяти групп симметрии
является замкнутой, т. е. любое последовательное применение
преобразований, входящих в группу, дает одно из уже имеющихся
преобразований.
150
3. Прибавление плоскости, перпендикулярной оси, дает еще
один ряд видов (или групп) симметрии:
Z*P = P, Z22P, Z33P, Z44P, Ze6P
(в этом случае каждая плоскость размножается соответственно
симметрии оси в 2, 3, 4 и б плоскостей).
4. Можно вносить одновременно параллельную и пер-
пендикулярную оси плоскости - это дает ряд, содержащий пять
групп.
5. Шестой ряд образует три вида кристаллов, содержащих
только зеркально-поворотные оси: Z\, Z\ и Z\.
6. Анализ случая кристаллов, содержащих более одной
поворотной оси, представляет наибольшие трудности; мы здесь
лишь укажем, что требование, чтобы в результате своего сочетания
элементы симметрии не размножались бесконечно (и не приводили
таким образом к шаровой симметрии), приводит к ограниченному
числу таких групп - всего 13.
Таким образом, общее число точечных групп оказывается 32.
, ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ
Вывод всех пространственных групп, которые получаются
путем присоединения к точечным группам еще одной группы
элементов симметрии - подгруппы трансляций по трем осям -
значительно сложнее; он был сделан впервые лишь в 1890 г.
русским ученым Е. С. Федоровым, который получил общее число
пространственных групп равным 230. 230 федоровских групп
описывают симметрию скалярного поля, величина которого в
каждой точке описывается одним положительным числом
(например, плотностью распределения электронного заряда. или
массы и т. д.).
А. В. Шубников обобщил теорию Федорова на чернобелые поля,
в которых изменяющаяся величина может менять знак. Дальнейшее
обобщение этих представлений приводит к цветовым полям, в
которых каждая точка может иметь / цветов, что соответствует,
например, /-дискретным ориентациям вектора, расположенного в
данной точке. Таким образом, теория симметрии обобщается на
векторные поля. Теория А. В. Шубникова привела к введению
новых понятий антиравенства (т. е. равенства с точностью до знака)
и антисимметрии. Советские ученые вывели все точечные
151
и пространственные группы с обобщением на изменение цвета. При
этом наряду с 32 обычными точечными группами было получено еще
58 черно-белых групп. Общее число пространственных (цветовых)
групп возросло до 1651. Классификация симметрии векторных полей
находит свое применение в теории магнитных и диэлектрических
структур.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЯЧЕЙКА
Любую линейную периодическую структуру можно получить
путем применения к исходной точке одной элементарной
трансляции. Такая цепочка будет обладать, кроме трансляционной,
бесконечным множеством элементов симметрии, так как ее ось
является осью симметрии по отношению к повороту на любой угол,
т. е. осью симметрии бесконечного порядка.
Симметрия цепочки не уменьшится, если мы в каждую из точек
поместим сферу или диск, перпендикулярный оси. Если же в
каждую из точек одномерной решетки поместить правильный /г-
угольник, перпендикулярный оси, то ось симметрии уже будет
иметь порядок п. Если мы сделаем ось цепочки осью симметрии
второго порядка, то наша одномерная решетка может обладать еще
значительным числом элементов симметрии. Это иллюстрируется
плоскими орнаментами, приведенными на рис. 2.5, которые
образуют 5 точечных групп симметрии (и 7 пространственных).
Приведенные примеры иллюстрируют тот факт, что даже в
простейшем случае одномерной решетки распределение вещества в
ее элементарной ячейке определяет ее симметрию.
Аналогичные представления можно распространить на плоскую
