Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
описывающая движение свободного электрона, удовлетворяет
также следующему дифференциальному уравнению:
в которое уже явно входит время; будем исходить из него для
обобщения уравнения Шредингера на нестационарные процессы.
Заменив в (2.30) энергию ? оператором (Uii)(d/dt), получим
[в справедливости этого равенства можно убедиться диффе-
ренцированием (2.19) по времени] и оставив все другие
*) В других атомах, даже атоме гелия, вид потенциальной энергии
значительно более сложен, так как она должна включать взаимодействие с
другими электронами; задача решается лишь приближенно.
F = - f (х - х0) и U = - Y f (х - х0)2} (2.31)
(2.32)
(2.33)
Ш
члены без изменения, получим уравнение (2.30), обобщенное для
нестационарных процессов. При этом оно приобретает следующий
вид:
(2.34)
В этом виде следует писать и решать уравнение Шредингера в
том случае, когда потенциальная энергия электрона зависит от
времени. Уравнение (2.34) также может быть переписано в виде
где Н - оператор Гамильтона (см. стр. 132).
В ряде случаев и здесь удается упростить задачу, прибегнув к
приближенным методам, а именно: в тех случаях, когда
потенциальную энергию можно разбить на два члена U = U0 + V (i),
где V (0 - часть, зависящая от времени, много меньше чем U0, не
зависящее от времени, решают вначале уравнение (2.34) в виде
(2.30), подставив вместо U символ Uо, и находят таким образом
стационарные состояния систем ij?!, ф2, . . ., ip,, • • •, Фь, а затем
рассматривают V (0 как возмущение, делающее эти ^состояния
нестацио- нарнымц, т. е. обусловливающее переходы между ними.
Можно показать, что вероятность таких переходов w
определяется квадратом так называемого матричного элемента
возмущения:
Уравнение (2.30) имеет для каждого вида V (г) целый ряд
решений [фг (г) ], каждому из которых соответствует вполне
определенная энергия Шй но одному и тому же значению энергии
Ei очень часто соответствует целый ряд различных решений ф',
ф?, . . ., ф?; в этом случае мы говорим, что это энергетическое
состояние я-кратно вырождено.
•) В этом и других случаях, когда буквой V обозначается возмущение,
для обозначения объема используется буква п.
(2.34а)
2
Щн~ ^ ф|Уфьди •
(2.35)*)
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
И ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
9* 131
При этом линейная комбинация из этих функций
П
(2.36)*)
к- 1
(где ck - произвольные постоянные коэффициенты) будет также
описывать состояние системы, соответствующее той же энергии -
это следует из линейности уравнения Шре- дингера. Чем более
симметричный вид имеет U (г), тем в большей степени вырождено
состояние системы. Мы уже столкнулись с этим в первой главе при
описании атома водорода: состояния с различным
эксцентриситетом и различной ориентацией орбит соответствовали
одной и той же энергии. Если к потенциальной энергии U (г)
добавляется член, обладающий меньшей симметрией (например, в
случае атома - внешнее поле), то степень вырождения умень-
шается или может совсем исчезнуть. Этим объясняются эффект
Зеемана - расщепление спектральных линий в магнитном поле и
эффект Штарка - в электрическом.
Уравнение (2.30) может быть переписано также в виде Нф = Щ,
(2.38)
где дифференциальный оператор
н=-ША + и^ = Т + и (2.Э9)
называется оператором Гамильтона.
Таким образом, можно сказать, что совокупность дозволенных
значений энергии §г, которые могут
частично или целиком образовывать непрерывный ряд, есть
собственные значения оператора Гамильтона [для данного
конкретного вида U (г) ] и соответствующие им функции - суть
собственные функции оператора Гамильтона.
Оператор Гамильтона является так называемым эрмитовым
оператором (см., например, В. И. Смирнов. Курс высшей
математики, т. II). Собственные функции любого не зависящего от
времени эрмитова оператора фь . . ., ф"
*) При этом мы всегда должны заботиться о том, чтобы соблюдалось
условие нормировки
^ Ччф? dv= ^ w(r)dv-\. (2.37)
Это условие следует из того очевидного факта, что электрон часто должен
"где-то" находиться, и поэтому, интегрируя его вероятность нахождения в
данной точке по всему пространству, мы должны получить единицу; этому
соотношению должны удовлетворять коэффициенты с*.
132
образуют ортогональную и полную систему функций. Это значит,
что
^ ф*ф* dv ~ 0. (2.40)*)
1фк
Это условие соответствует условию ортогональности векторов в
обычном пространстве. Свойство полноты означает, что любая
пространственная' функция ср и в частности функция данного
конкретного или другого оператора Гамильтона, может быть
представлена в виде суммы
Ф * = 2анф4; (2.41)
в случае, если ф* есть одна из собственных функций,
Ф = фй, то ад = 1, а все остальные коэффициенты равны нулю. Для
того чтобы получить коэффициенты ам, в общем случае умножим и
левую и правую части (2.41) на ф* и проинтегрируем; тогда
согласно (2.40) и (2.42)
flfti == ^ Флф* du. (2.43)
Разложение в ряд Фурье есть частный случай разложения (2.41).
