Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
отражается заметным образом на характере движения
макроскопических тел.
Теоретический анализ показывает, как мы уже упоминали, что
между энергией системы ё, находящейся в каком-то определенном
состоянии, и временем, в течение которого частица находится в
этом состоянии Ат, существует соотношение неопределенности,
аналогичное (2.21):
А§Ат>А, (2.27)
т. е. чем точнее зафиксировано время существования данной
системы, тем неопределенней становится его энергия. Можно точно
так же, как это было сделано только что для соотношения (2.21),
показать, что (2.27) не сказывается существенно на поведении
макроскопических объектов.
К совершенно иным выводам приводит применение этих
соотношений к микромиру, например, к поведению электрона в
пределах атома. Действительно, полагая т ш 10~27 г
127
(масса электрона) и Д* = 6* 10~8 см (атомные размеры), получаем
неопределенность в скорости:
Ду* = -4-" 108- .
тАх сек
С другой стороны, простые расчеты показывают, что сама
скорость валентных электронов в атоме того же порядка (108
см/сек); это значит, что в данном случае понятие об орбите теряет
всякий смысл и необходимо ввести новые представления и новую
теорию, которая описывала бы поведение электрона в атоме *>. Эту
новую теорию, являющуюся дальнейшим развитием представлений
Бора и де Бройля, создали в 1926-1927 гг. Шредингер, Гейзенберг,
Борн и др.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение электрона
в свободном пространстве; в этом случае он (т. е. электрон)
описывается плоской волной или пакетом из плоских волн. Не
менее важными являются случаи,' когда частица имеет
отрицательную потенциальную энергию, ограничивающую ее
движение в каком-то объеме (т. е. рассматриваемая нами частица
связана силами притяжения с какой-либо другой частицей или
системой частиц и ее кинетическая энергия недостаточна, чтобы
преодолеть это притяжение). Сюда относится движение электронов
в атоме, молекуле и кристалле, колебания атомов в молекуле и кри-
сталле и др. Мы должны найти волну (волновую функцию) ф,
описывающую электрон (или другую частицу) в этих случаях.
В классической механике движение частицы или системы
частиц определялось уравнениями движения (написанными в
форме второго закона Ньютона или уравнениями Лагранжа,
Гамильтона или в форме вариационного принципа) и начальными
условиями. Очевидно, что и в квантовой механике должны
существовать дифференциальные (или
*) Можно показать, что для "сильно" возбужденных состояний, т. е. с
большим п в формуле (2.13), классические представления опять приобретают
смысл.
128
интегральные) уравнения, которые бы описывали движение
частицы.*)
Нетрудно убедиться, что плоская волна (2.19) является
решением дифференциального уравнения
?.0=-** <2-28>
или для объемного случая
|-Дф=-1ф, (2.29)
где
дх2 1 ду2 "г Зг2 •
Уравнения (2.28) и (2.29) описывают свободный электрон;
необходимо их обобщить таким образом, чтобы в них входила
потенциальная энергия U.
Нетрудно убедиться, что левая часть (2.29) представляет собой
кинетическую энергию электрона. Действительно, согласно (2.19)
<2'29а>
и, следовательно, (2.29) можно рассматривать как -волновую
формулировку закона сохранения энергии; в случае наличия
потенциальной энергии U естественно его переписать в форме Тф =
(ё - U) ф или
^Дф = -(8-1/) Ф,
или
-^Дф + ?/ф = 8ф. (2.30)
Уравнение (2.30) и есть уравнение Шредингера для ста-
ционарных состояний. Разумеется, приведенные выше рассуждения
ни в какой мере не могут претендовать на обоснование или, тем
более, доказательство этого уравнения, и.Шредингер вывел его на
основе несоизмеримо более глу
*) Мы начнем с рассмотрения стационарных (не зависящих от времени)
состояний. В этом случае: 1) время не должно входить явно в уравнение для
определения ф и 2) начальные условия долж
ны быть заменены какими-то другими условиями: однозначностью
волновой функции ф, ее конечностью, убыванием при х-> оо и т. д.
9-1053
129
бокого анализа существовавшей ситуации. G другой стороны,
следует заметить, что, как большинство вновь открываемых
законов природы, оно не могло быть строго получено из старых
представлений, а требовало для своего вывода элемента догадки.
Задавая конкретный вид потенциальной энергии и допол-
нительные условия, соответствующие данной задаче, можно
получить конкретные выражения волновой функции для любой
физической задачи:
1) для электрона в атоме водорода*) U ="-е2/г;
2) для частицы, связанной с положением х0 равновесия
упругой силой
частица, описываемая потенциальной энергией такого вида,
называется линейным осциллятором. Такой вид U приблизительно
соответствует внутримолекулярным колебаниям атомов и т. д.
Остановимся коротко еще на одном из основных положений
квантовой механики - вероятности переходов из одного состояния
в другое. Как нетрудно убедиться, волновая функция (2.19),
